Чтобы определить, какие из чисел (-5), (-3), (-1), (2), (4), (6) являются корнями уравнения (x^3 - 7x^2 + 10x = 0), начнем с разложения данного уравнения.
Сначала заметим, что уравнение можно упростить, вынеся (x) за скобки:
[
x^3 - 7x^2 + 10x = 0 \implies x(x^2 - 7x + 10) = 0
]
Теперь у нас есть два множителя: (x = 0) и (x^2 - 7x + 10 = 0). Первый корень уже найден — это (x = 0).
Теперь решим квадратное уравнение:
[
x^2 - 7x + 10 = 0
]
Мы можем найти корни этого уравнения, используя дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9
]
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 3}{2}
]
Вычислим корни:
- (x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5)
- (x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2)
Теперь у нас есть три корня уравнения:
[
x = 0, \quad x = 2, \quad x = 5
]
Теперь проверяем, какие из данных чисел (-5), (-3), (-1), (2), (4), (6) являются корнями:
- (-5): не является корнем.
- (-3): не является корнем.
- (-1): не является корнем.
- (2): является корнем (найденный корень).
- (4): не является корнем.
- (6): не является корнем.
Таким образом, из указанных чисел, единственным корнем данного уравнения является 2.
