2. Какие из чисел -5, -3, -1, 2, 4, 6 являются корнями уравнения: x ^ 3 - 7x ^ 2 + 10x = 0
Чтобы определить, какие из чисел \(-5\), \(-3\), \(-1\), \(2\), \(4\), \(6\) являются корнями уравнения \(x^3 - 7x^2 + 10x = 0\), начнем с разложения данного уравнения.
Сначала заметим, что уравнение можно упростить, вынеся \(x\) за скобки:
\[ x^3 - 7x^2 + 10x = 0 \implies x(x^2 - 7x + 10) = 0 \]
Теперь у нас есть два множителя: \(x = 0\) и \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Первый корень уже найден — это \(x = 0\).
Теперь решим квадратное уравнение:
\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]
Мы можем найти корни этого уравнения, используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 3}{2} \]
Вычислим корни:
- \(x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
- \(x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Теперь у нас есть три корня уравнения:
\[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = 5 \]
Теперь проверяем, какие из данных чисел \(-5\), \(-3\), \(-1\), \(2\), \(4\), \(6\) являются корнями:
- \(-5\): не является корнем.
- \(-3\): не является корнем.
- \(-1\): не является корнем.
- \(2\): является корнем (найденный корень).
- \(4\): не является корнем.
- \(6\): не является корнем.
Таким образом, из указанных чисел, единственным корнем данного уравнения является 2.
