Найдите площадь сегмента, ограниченного дугой равной 90 градусов и хордой равной 10.

Чтобы найти площадь сегмента, ограниченного дугой и хордой, нам нужно разбить задачу на несколько шагов. Рассмотрим задачу более подробно:

Шаг 1: Понять, что такое сегмент

Сегмент окружности – это часть круга, заключенная между дугой и хордой. В данном случае у нас есть сегмент, ограниченный дугой, равной 90 градусов.

Шаг 2: Найти радиус

Для начала давайте найдем радиус окружности. Из условия нам дана длина хорды, которая равна 10. Мы можем использовать формулу длины хорды, чтобы найти радиус.

Формула для длины хорды \( c \) в круге радиуса \( R \) и угле \( \theta \) (в радианах) следующая:

\[ c = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \]

Угол в 90 градусов равен \( \frac{\pi}{2} \) радиан. Подставляем в формулу:

\[ 10 = 2R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Где \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Подставим это значение:

\[ 10 = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим:

\[ 10 = R\sqrt{2} \]

Значит, мы можем выразить радиус \( R \):

\[ R = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \]

Шаг 3: Найти площадь сектора

Площадь сектора окружности может быть найдена по формуле:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{R^2 \theta}{2} \]

Подставляем значения, где \( \theta = \frac{\pi}{2} \):

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{(5\sqrt{2})^2 \cdot \frac{\pi}{2}}{2} \]

Считаем:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{50 \cdot \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{50\pi}{4} = \frac{25\pi}{2} \]

Шаг 4: Найти площадь треугольника

Следующий шаг — найти площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Поскольку угол между двумя радиусами равен 90 градусов, можем использовать формулу площади для прямоугольного треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} a b \]

где \( a \) и \( b \) — это длины двух катетов, равные радиусу \( R \):

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25 \]

Шаг 5: Найти площадь сегмента

Теперь мы можем найти площадь сегмента:

\[ S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} \]

Подставляем:

\[ S_{\text{сегмента}} = \frac{25\pi}{2} - 25 \]

Ответ

Итак, окончательная формула для нахождения площади сегмента:

\[ S_{\text{сегмента}} = \frac{25\pi}{2} - 25 \]

Таким образом, площадь сегмента, ограниченного дугой равной 90 градусов и хордой равной 10, равна \( \frac{25\pi}{2} - 25 \).