Чтобы решить задачу о вероятности 3 успехов в 8 бинарных испытаниях с вероятностью успеха 0,1, мы применим формулу биномиального распределения. Вот шаги, которые следует выполнить:
Шаг 1: Определим параметры
- n (количество испытаний) = 8
- k (количество успехов) = 3
- p (вероятность успеха) = 0,1
- q (вероятность неудачи) = 1 - p = 0,9
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Формула для расчета вероятности получения k успехов в n испытаниях выглядит так:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)}
]
где (C(n, k)) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 3: Вычислим биномиальный коэффициент
Для (n = 8) и (k = 3):
[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}
]
Вычислим факториалы:
- (8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!) (пятерки сократятся)
- (3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6)
- (5! = 5!) (сократится)
Подставляем:
[
C(8, 3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56
]
Шаг 4: Подставляем значения в формулу
Теперь можем подставить все значения в формулу:
[
P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^{(8-3)}
]
Подставляем значения:
[
P(X = 3) = 56 \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^5
]
Шаг 5: Вычислим значения
- ((0,1)^3 = 0,001)
- ((0,9)^5 = 0,59049)
Теперь подставим и умножим:
[
P(X = 3) = 56 \cdot 0,001 \cdot 0,59049
]
Шаг 6: Финальные вычисления
Теперь, произведем окончательное умножение:
[
P(X = 3) = 56 \cdot 0,001 \cdot 0,59049 = 0,03304944
]
Округлим результат до тысячных:
[
P(X = 3) \approx 0,033
]
Ответ
Таким образом, вероятность получения 3 успехов в 8 испытаниях при вероятности успеха 0,1 составляет примерно 0,033.
