Вероятность успеха равна 0,1, количество испытаний равно 8. Определи вероятность 3 успехов в данной серии бинарных испытаний. (Ответ округли до тысячных.)

Чтобы решить задачу о вероятности 3 успехов в 8 бинарных испытаниях с вероятностью успеха 0,1, мы применим формулу биномиального распределения. Вот шаги, которые следует выполнить:

Шаг 1: Определим параметры

• n (количество испытаний) = 8
• k (количество успехов) = 3
• p (вероятность успеха) = 0,1
• q (вероятность неудачи) = 1 - p = 0,9

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Формула для расчета вероятности получения k успехов в n испытаниях выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 3: Вычислим биномиальный коэффициент

Для \(n = 8\) и \(k = 3\):

\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]

Вычислим факториалы:

• \(8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!\) (пятерки сократятся)
• \(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)
• \(5! = 5!\) (сократится)

Подставляем:

\[ C(8, 3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56 \]

Шаг 4: Подставляем значения в формулу

Теперь можем подставить все значения в формулу:

\[ P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^{(8-3)} \]

Подставляем значения:

\[ P(X = 3) = 56 \cdot (0,1)^3 \cdot (0,9)^5 \]

Шаг 5: Вычислим значения

• \((0,1)^3 = 0,001\)
• \((0,9)^5 = 0,59049\)

Теперь подставим и умножим:

\[ P(X = 3) = 56 \cdot 0,001 \cdot 0,59049 \]

Шаг 6: Финальные вычисления

Теперь, произведем окончательное умножение:

\[ P(X = 3) = 56 \cdot 0,001 \cdot 0,59049 = 0,03304944 \]

Округлим результат до тысячных:

\[ P(X = 3) \approx 0,033 \]

Ответ

Таким образом, вероятность получения 3 успехов в 8 испытаниях при вероятности успеха 0,1 составляет примерно 0,033.