Найдите значение выражения

Давайте разберём задачу шаг за шагом. Нам нужно найти значение выражения: \[ \frac{3}{\sin 2\alpha} \] если нам даны условия: \[ \sin \alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13} \] и \[ 4x + 13 = 32 \] ### Шаг 1: Найти \( x \) Первое уравнение: \[ 4x + 13 = 32 \] Решаем его: \[ 4x = 32 - 13 \\ 4x = 19 \\ x = \frac{19}{4} \] ### Шаг 2: Найти \(\sin 2\alpha\) Формула для синуса двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] Найдём \(\cos \alpha\) используя основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим значение \(\sin \alpha\): \[ \left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \\ \frac{4 \times 13}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \\ \frac{52}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \\ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{52}{169} \\ \cos^2 \alpha = \frac{117}{169} \\ \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{117}}{13} \] Мы не знаем знак \(\cos \alpha\), но продолжим с \(|\cos \alpha|\). Теперь найдём \(\sin 2\alpha\): \[ \sin 2\alpha = 2 \times \frac{2\sqrt{13}}{13} \times \frac{\sqrt{117}}{13} = \frac{4\sqrt{13} \sqrt{117}}{169} \] ### Шаг 3: Найти значение выражения Теперь подставим в выражение: \[ \frac{3}{\sin 2\alpha} = \frac{3}{\frac{4\sqrt{13} \sqrt{117}}{169}} \] Умножаем на обратную дробь: \[ = 3 \times \frac{169}{4\sqrt{13} \sqrt{117}} = \frac{507}{4\sqrt{13} \sqrt{117}} \] Это окончательное значение выражения с учётом полученных значений.