Найдите значение выражения

Давайте разберём задачу шаг за шагом. Нам нужно найти значение выражения:

\[ \frac{3}{\sin 2\alpha} \]

если нам даны условия:

\[ \sin \alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13} \]

и

\[ 4x + 13 = 32 \]

Шаг 1: Найти \( x \)

Первое уравнение:

\[ 4x + 13 = 32 \]

Решаем его:

\[ 4x = 32 - 13 \\ 4x = 19 \\ x = \frac{19}{4} \]

Шаг 2: Найти \(\sin 2\alpha\)

Формула для синуса двойного угла:

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Найдём \(\cos \alpha\) используя основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим значение \(\sin \alpha\):

\[ \left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \\ \frac{4 \times 13}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \\ \frac{52}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \\ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{52}{169} \\ \cos^2 \alpha = \frac{117}{169} \\ \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{117}}{13} \]

Мы не знаем знак \(\cos \alpha\), но продолжим с \(|\cos \alpha|\).

Теперь найдём \(\sin 2\alpha\):

\[ \sin 2\alpha = 2 \times \frac{2\sqrt{13}}{13} \times \frac{\sqrt{117}}{13} = \frac{4\sqrt{13} \sqrt{117}}{169} \]

Шаг 3: Найти значение выражения

Теперь подставим в выражение:

\[ \frac{3}{\sin 2\alpha} = \frac{3}{\frac{4\sqrt{13} \sqrt{117}}{169}} \]

Умножаем на обратную дробь:

\[ = 3 \times \frac{169}{4\sqrt{13} \sqrt{117}} = \frac{507}{4\sqrt{13} \sqrt{117}} \]

Это окончательное значение выражения с учётом полученных значений.