Чтобы решить задачу, давайте обозначим стороны прямоугольника. Пусть:
- Длинная сторона равна ( x ) см.
- Короткая сторона тогда будет равна ( x - 5 ) см (так как одна из сторон на 5 см меньше другой).
Согласно условию задачи, площадь прямоугольника равна 14 см². Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
[
\text{Площадь} = \text{Длина} \times \text{Ширина}
]
Подставим наши обозначения в формулу площади:
[
x \times (x - 5) = 14
]
Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
[
x^2 - 5x = 14
]
Переносим 14 на левую сторону уравнения:
[
x^2 - 5x - 14 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем его решить с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -14 ). Подставим значения в формулу для дискриминанта:
[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81
]
Дискриминант положителен, значит, у уравнения два различных корня. Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим наши значения:
[
x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2}
]
Теперь найдём два корня:
- ( x_1 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 )
- ( x_2 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 )
Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, оставляем только положительный корень:
[
x = 7 \text{ см}
]
Теперь, чтобы найти короткую сторону, подставим значение ( x ) обратно:
[
x - 5 = 7 - 5 = 2 \text{ см}
]
Итак, стороны прямоугольника равны:
- Длинная сторона: 7 см
- Короткая сторона: 2 см
Таким образом, мы нашли обе стороны прямоугольника: 7 см и 2 см.
