Реши задачу

Давайте разберем задачу, представив её как треугольник \( \triangle ABC \), где дано, что \( \angle ABC = 90^\circ \). В задаче указаны следующие данные:

• \( \sin A = \frac{3\sqrt{5}}{10} \)
• Найти \( \cos B \)

Так как \( \angle ABC = 90^\circ \), нас интересует второй угол \( A \), чтобы найти соответствующие тригонометрические соотношения.

В прямоугольном треугольнике справедливо следующее отношение:

\[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет к углу } A}{\text{гипотенуза}} \]

Также знаем, что:

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет к углу } A}{\text{гипотенуза}} \]

В прямоугольном треугольнике также выполняется основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

1. Подставим данное значение \( \sin A \) в это тождество: \[ \left(\frac{3\sqrt{5}}{10}\right)^2 + \cos^2 A = 1 \]

2. Посчитаем \( \left(\frac{3\sqrt{5}}{10}\right)^2 \): \[ \left(\frac{3\sqrt{5}}{10}\right)^2 = \frac{9 \times 5}{100} = \frac{45}{100} = 0.45 \]

3. Подставим в уравнение: \[ 0.45 + \cos^2 A = 1 \]

4. Найдем \( \cos^2 A \): \[ \cos^2 A = 1 - 0.45 = 0.55 \]

5. Вычислим \( \cos A \): \[ \cos A = \sqrt{0.55} \]

6. Поскольку \( \angle B = 90^\circ - \angle A \), то \( \cos B = \sin A \).

Таким образом, \( \cos B = \frac{3\sqrt{5}}{10} \), что является ответом.