Чтобы решить эту задачу, рассмотрим явление дифракции света. Дифракционная картина образуется из-за того, что свет, проходя через диафрагму, накладывается на себя и создаёт интерференционные полосы. Для круглых отверстий такие узоры имеют вид концентрических колец.
Шаг 1: Понимание условий задачи
У нас есть:
- Дистанция от источника света до экрана ( L = 4 ) м.
- Длина волны света ( \lambda = 5 \times 10^{-7} ) м.
Наша цель — найти радиус отверстия ( r ), при котором центр дифракционных колец на экране будет наиболее тёмным.
Шаг 2: Условия максимума и минимума
Положение минимумов (тёмных колец) для круглых дифракционных отверстий определяется через отношение радиуса кольца ( r_n ) и длину волны ( \lambda ):
[
r_n = \frac{n \lambda L}{r}
]
где ( n ) — это порядок минимума (аналогично, ( n=1 ) — первое темное кольцо, ( n=2 ) — второе и так далее).
Наиболее тёмным будет центр колец, когда:
[
\text{Если } n=1: \quad \frac{\lambda L}{r} = \frac{\text{Fraction}}{2}
]
Где ( r ) — радиус отверстия.
Шаг 3: Упрощение уравнения
Для первого минимума, укажем, что для того, чтобы центр дифракционных колец был тёмным, необходимое условие таково:
[
\frac{1 \cdot \lambda L}{r} = r
]
Шаг 4: Установка уравнения
Подставим известные величины:
[
\lambda = 5 \times 10^{-7} , \text{м} \
L = 4 , \text{м}
]
Подставим в уравнение:
[
\frac{(5 \times 10^{-7}) \cdot 4}{r} = r
]
Шаг 5: Решим уравнение
Умножим обе стороны на ( r ):
[
4 \cdot 5 \times 10^{-7} = r^2
]
[
20 \times 10^{-7} = r^2
]
Теперь найдём ( r ):
[
r = \sqrt{20 \times 10^{-7}} = \sqrt{2 \times 10^{-6}} \approx 1.414 \times 10^{-3} = 1.414 , \text{мм}
]
Заключение
Таким образом, радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране будет наиболее тёмным, составляет примерно 1.414 мм. Если будут вопросы по этому решению или по другим аспектам этой темы, не стесняйтесь спрашивать!
