Чтобы найти наибольшее значение выражения (2 - 16x^2 + 24x), давайте сначала перепишем его в стандартной форме:
[
-16x^2 + 24x + 2
]
Это квадратное уравнение в форме (ax^2 + bx + c), где:
- (a = -16)
- (b = 24)
- (c = 2)
Так как коэффициент (a) отрицательный ((-16 < 0)), это означает, что парабола, соответствующая данному уравнению, имеет форму "перевернутой U". Следовательно, у нее есть максимум.
Формула для нахождения координаты вершины параболы (наиболее высокого значения функции) задается как:
[
x = -\frac{b}{2a}
]
Подставим наши значения:
[
x = -\frac{24}{2 \cdot (-16)} = -\frac{24}{-32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}
]
Теперь, когда мы нашли значение (x) в точке максимума (максимум функция принимает в точке (x = \frac{3}{4})), давайте подставим его обратно в выражение, чтобы найти максимальное значение:
[
y = 2 - 16\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 24\left(\frac{3}{4}\right)
]
Сначала вычислим каждое слагаемое:
Вычислим (\left(\frac{3}{4}\right)^2):
[
\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}
]
Подставим это значение в уравнение:
[
-16 \cdot \frac{9}{16} = -9
]
Теперь вычислим (24\left(\frac{3}{4}\right)):
[
24 \cdot \frac{3}{4} = 18
]
Теперь соберем все вместе:
[
y = 2 - 9 + 18
]
[
y = 2 + 9 = 11
]
Таким образом, наибольшее значение выражения (2 - 16x^2 + 24x) равно (11), и оно достигается при (x = \frac{3}{4}).
