Для решения задачи, давайте сначала определим векторы AC и BD на основании заданных координат точек:
- Точка A имеет координаты ( A(2, -4) )
- Точка B имеет координаты ( B(2, -6) )
- Точка C имеет координаты ( C(8, -1) )
- Точка D имеет координаты ( D(-3, 4) )
Шаг 1: Найдем векторы AC и BD
Вектор AC можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:
[
\vec{AC} = C - A = (8 - 2, -1 - (-4)) = (6, 3)
]
Вектор BD можно найти аналогичным способом:
[
\vec{BD} = D - B = (-3 - 2, 4 - (-6)) = (-5, 10)
]
Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
Скалярное произведение двух векторов (\vec{u}(u_1, u_2)) и (\vec{v}(v_1, v_2)) вычисляется по формуле:
[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2
]
Подставим наши векторы:
[
\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (6)(-5) + (3)(10) = -30 + 30 = 0
]
Шаг 3: Найдем угол между векторами AC и BD
Угол (\theta) между двумя векторами можно вычислить с помощью формулы:
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
]
Сначала найдем длины векторов (\vec{AC}) и (\vec{BD}):
Длина вектора (\vec{AC}):
[
|\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
]
Длина вектора (\vec{BD}):
[
|\vec{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}
]
Теперь подставим все в формулу для косинуса:
[
\cos(\theta) = \frac{0}{(3\sqrt{5})(5\sqrt{5})} = 0
]
Когда (\cos(\theta) = 0), это означает, что угол между векторами ( \theta = 90^\circ). Таким образом, векторы AC и BD перпендикулярны друг другу.
Итог
- Скалярное произведение векторов AC и BD равно 0.
- Угол между векторами AC и BD равен (90^\circ) (они перпендикулярны).
