Точки A,B,C,D имеют следующие координаты A2 -4. B2 -6. C8. -1. D-3 4 найдите столярное произведение AC BD найдите угол между векторами AC и BD
Для решения задачи, давайте сначала определим векторы AC и BD на основании заданных координат точек:
- Точка A имеет координаты \( A(2, -4) \)
- Точка B имеет координаты \( B(2, -6) \)
- Точка C имеет координаты \( C(8, -1) \)
- Точка D имеет координаты \( D(-3, 4) \)
Шаг 1: Найдем векторы AC и BD
Вектор AC можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:
\[ \vec{AC} = C - A = (8 - 2, -1 - (-4)) = (6, 3) \]
Вектор BD можно найти аналогичным способом:
\[ \vec{BD} = D - B = (-3 - 2, 4 - (-6)) = (-5, 10) \]
Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
Скалярное произведение двух векторов \(\vec{u}(u_1, u_2)\) и \(\vec{v}(v_1, v_2)\) вычисляется по формуле:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 \]
Подставим наши векторы:
\[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = (6)(-5) + (3)(10) = -30 + 30 = 0 \]
Шаг 3: Найдем угол между векторами AC и BD
Угол \(\theta\) между двумя векторами можно вычислить с помощью формулы:
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
Сначала найдем длины векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\):
Длина вектора \(\vec{AC}\):
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]
Длина вектора \(\vec{BD}\):
\[ |\vec{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \]
Теперь подставим все в формулу для косинуса:
\[ \cos(\theta) = \frac{0}{(3\sqrt{5})(5\sqrt{5})} = 0 \]
Когда \(\cos(\theta) = 0\), это означает, что угол между векторами \( \theta = 90^\circ\). Таким образом, векторы AC и BD перпендикулярны друг другу.
Итог
- Скалярное произведение векторов AC и BD равно 0.
- Угол между векторами AC и BD равен \(90^\circ\) (они перпендикулярны).
