Чтобы найти корни уравнения ( x^2 - 6x - 16 = 0 ) без использования формулы корней, можем воспользоваться методом выделения полного квадрата. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.
Шаг 1: Перепишем уравнение
Исходное уравнение:
[
x^2 - 6x - 16 = 0
]
Шаг 2: Переносим свободный член
Переносим свободный член на правую сторону уравнения:
[
x^2 - 6x = 16
]
Шаг 3: Выделяем полный квадрат
Теперь нам нужно выделить полный квадрат. Для этого найдём, какое число нужно добавить и вычесть. В данном случае нам нужно взять коэффициент при ( x ) (это -6), разделить его на 2 и возвести в квадрат:
[
\left( \frac{-6}{2} \right)^2 = (-3)^2 = 9
]
Добавим и вычтем это число с левой стороны:
[
x^2 - 6x + 9 - 9 = 16
]
После добавления и вычитания:
[
(x - 3)^2 - 9 = 16
]
Шаг 4: Упрощаем уравнение
Теперь упрощаем уравнение:
[
(x - 3)^2 = 16 + 9
]
[
(x - 3)^2 = 25
]
Шаг 5: Извлекаем корень
Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
[
x - 3 = \pm 5
]
Шаг 6: Решаем полученные уравнения
Теперь у нас есть два случая:
- ( x - 3 = 5 )
- ( x - 3 = -5 )
Решим каждый из случаев:
( x - 3 = 5 )
( x = 5 + 3 = 8 )
( x - 3 = -5 )
( x = -5 + 3 = -2 )
Итоговые корни
Таким образом, мы нашли корни уравнения:
[
x_1 = 8, \quad x_2 = -2
]
Мы успешно нашли корни уравнения ( x^2 - 6x - 16 = 0 ) без использования формулы корней!
