-5-(-7)

Для начала разберёмся, что из себя представляют арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия (АП): Это последовательность чисел, где разность между любыми двумя последовательными членами одна и та же. Если \( a_1 \) - первый член, а \( d \) - разность, то \( n \)-ый член такой прогрессии можно вычислить по формуле: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] или \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) \]

Теперь перейдем к задачам:

1. Дана арифметическая прогрессия: 27, 15, ...

   • Найдем \( n \)-ый член и сумму первых \( n \) членов:

   Решение:

   • Первый член \( a_1 = 27 \)
   • Второй член \( a_2 = 15 \)
   • Разность \( d = a_2 - a_1 = 15 - 27 = -12 \)

   Формула \( n \)-го члена: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 27 + (n-1) \cdot (-12) \]

   Сумма первых \( n \) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 27 + (n-1) \cdot (-12)) \]

2. Арифметическая прогрессия задана условиями: \( a_1 = 15, a_{11} = 5 \)

   • Найдем разность и сумму первых 11 членов:

   Решение:

   • \( a_{11} = a_1 + 10d = 5 \)
   • Подставим: \( 15 + 10d = 5 \)
   • Найдем \( d \): \( 10d = 5 - 15 = -10 \Rightarrow d = -1 \)

   Сумма первых 11 членов: \[ S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (15 + 5) = \frac{11}{2} \cdot 20 = 110 \]

Эти решения показывают, как решать задачи, связанные с нахождением членов и суммы для арифметической прогрессии. Если есть другие вопросы по конкретным задачам, дайте знать!