Разложите на множители: а)25х-х^3 б)2х^2-20х+50
Чтобы разложить многочлены на множители, воспользуемся различными методами, такими как вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращённого умножения.
а) \( 25x - x^3 \)
Вынесем общий множитель за скобки:
В обоих членах многочлена присутствует \( x \).
\[ 25x - x^3 = x(25 - x^2) \]
Заметим, что \( 25 - x^2 \) — это разность квадратов:
Разность квадратов можно разложить как \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). Заменим \( a = 5 \) и \( b = x \):
\[ 25 - x^2 = (5-x)(5+x) \]
Получим окончательное разложение:
\[ 25x - x^3 = x(5-x)(5+x) \]
б) \( 2x^2 - 20x + 50 \)
Вынесем общий множитель за скобки:
Находим общий множитель для всех членов: это \( 2 \).
\[ 2x^2 - 20x + 50 = 2(x^2 - 10x + 25) \]
Заметим, что квадратный трёхчлен представляет полный квадрат:
Трёхчлен \( x^2 - 10x + 25 \) можно разложить по формуле полного квадрата \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
\[ x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 \]
Получим окончательное разложение:
\[ 2x^2 - 20x + 50 = 2(x-5)^2 \]
Таким образом, разложения на множители выглядят следующим образом:
- а) \( x(5-x)(5+x) \)
- б) \( 2(x-5)^2 \)
