Чтобы решить задачу о движении баржи, давайте пошагово разберем, какие данные у нас есть, и как их использовать для нахождения собственной скорости баржи.
Данные из задачи:
- Дистанция по течению реки: 40 км
- Дистанция против течения реки: 30 км
- Общее время в пути: 5 часов
- Скорость течения реки: 5 км/ч
Обозначения:
- Пусть скорость баржи относительно воды (собственная скорость) равна ( v ) км/ч.
- Скорость баржи по течению: ( v + 5 ) км/ч (так как здесь добавляется скорость течения реки).
- Скорость баржи против течения: ( v - 5 ) км/ч (так как здесь скорость течения вычитается).
Шаг 1: Записать выражения для времени
Мы знаем, что время равно расстояние, делённое на скорость. Таким образом, время, затраченное на каждую часть пути, можно выразить как:
Время по течению:
[
t_1 = \frac{40}{v + 5}
]
Время против течения:
[
t_2 = \frac{30}{v - 5}
]
Шаг 2: Записать общее время
Общее время в пути равно сумме времени, затраченного на каждую часть:
[
t_1 + t_2 = 5
]
Подставив выражения для времени, получаем:
[
\frac{40}{v + 5} + \frac{30}{v - 5} = 5
]
Шаг 3: Упростить уравнение
Умножим обе стороны на ((v + 5)(v - 5)) (чтобы избавиться от дробей):
[
40(v - 5) + 30(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5)
]
Раскроем скобки:
[
40v - 200 + 30v + 150 = 5(v^2 - 25)
]
Шаг 4: Собрать всё в одну сторону
Сложим подобные:
[
70v - 50 = 5v^2 - 125
]
Теперь приведем всё к одной стороне уравнения:
[
5v^2 - 70v - 75 = 0
]
Шаг 5: Упрощение уравнения
Упростим уравнение, разделив на 5:
[
v^2 - 14v - 15 = 0
]
Шаг 6: Использование формулы корней квадратного уравнения
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = -14), (c = -15).
Выражаем дискриминант:
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256
]
Теперь подставляем в формулу:
[
v = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 16}{2}
]
Шаг 7: Решение уравнения
Рассмотрим два возможных корня:
- (v = \frac{30}{2} = 15) км/ч
- (v = \frac{-2}{2} = -1) км/ч (но отрицательная скорость физически невозможна)
Таким образом, собственная скорость баржи:
[
\text{Собственная скорость баржи} = 15 \text{ км/ч.}
]
Ответ:
Собственная скорость баржи составляет 15 км/ч.
