1.16. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна…

Чтобы решить задачу о движении баржи, давайте пошагово разберем, какие данные у нас есть, и как их использовать для нахождения собственной скорости баржи.

Данные из задачи:

1. Дистанция по течению реки: 40 км
2. Дистанция против течения реки: 30 км
3. Общее время в пути: 5 часов
4. Скорость течения реки: 5 км/ч

Обозначения:

• Пусть скорость баржи относительно воды (собственная скорость) равна \( v \) км/ч.
• Скорость баржи по течению: \( v + 5 \) км/ч (так как здесь добавляется скорость течения реки).
• Скорость баржи против течения: \( v - 5 \) км/ч (так как здесь скорость течения вычитается).

Шаг 1: Записать выражения для времени

Мы знаем, что время равно расстояние, делённое на скорость. Таким образом, время, затраченное на каждую часть пути, можно выразить как:

1. Время по течению: \[ t_1 = \frac{40}{v + 5} \]

2. Время против течения: \[ t_2 = \frac{30}{v - 5} \]

Шаг 2: Записать общее время

Общее время в пути равно сумме времени, затраченного на каждую часть: \[ t_1 + t_2 = 5 \]

Подставив выражения для времени, получаем: \[ \frac{40}{v + 5} + \frac{30}{v - 5} = 5 \]

Шаг 3: Упростить уравнение

Умножим обе стороны на \((v + 5)(v - 5)\) (чтобы избавиться от дробей): \[ 40(v - 5) + 30(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5) \]

Раскроем скобки: \[ 40v - 200 + 30v + 150 = 5(v^2 - 25) \]

Шаг 4: Собрать всё в одну сторону

Сложим подобные: \[ 70v - 50 = 5v^2 - 125 \] Теперь приведем всё к одной стороне уравнения: \[ 5v^2 - 70v - 75 = 0 \]

Шаг 5: Упрощение уравнения

Упростим уравнение, разделив на 5: \[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]

Шаг 6: Использование формулы корней квадратного уравнения

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -14\), \(c = -15\).

Выражаем дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \]

Теперь подставляем в формулу: \[ v = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 16}{2} \]

Шаг 7: Решение уравнения

Рассмотрим два возможных корня:

1. \(v = \frac{30}{2} = 15\) км/ч
2. \(v = \frac{-2}{2} = -1\) км/ч (но отрицательная скорость физически невозможна)

Таким образом, собственная скорость баржи: \[ \text{Собственная скорость баржи} = 15 \text{ км/ч.} \]

Ответ:

Собственная скорость баржи составляет 15 км/ч.