Задача 3. В воду массой 0,8 кг при температуре 20°С бросили кусочек льда массой 0,1 кг при 0°С. Определите установившуюся температуру воды после того, как весь лед растая

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать закон сохранения энергии. В данной задаче тепло, которое вода отдает, будет равно теплу, которое лед принимает для таяния и подогрева до конечной температуры.

Шаг 1: Обозначим данные

• Масса воды \( m_1 = 0.8 \, \text{кг} \)
• Начальная температура воды \( T_1 = 20 \, \text{°C} \)
• Масса льда \( m_2 = 0.1 \, \text{кг} \)
• Начальная температура льда \( T_2 = 0 \, \text{°C} \)
• Установившаяся температура \( T_f \) (то, что мы ищем)
• Удельная теплота плавления льда \( L = 334 \, \text{kJ/kg} = 334000 \, \text{J/kg} \)
• Удельная теплоёмкость воды \( c = 4184 \, \text{J/(kg·°C)} \)

Шаг 2: Рассчитаем количество теплоты

1. Тепло, которое отдает вода (при охлаждении от \( T_1 \) до \( T_f \)): \[ Q_{\text{вода}} = m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f) \]

2. Тепло, которое принимает лед (сначала для таяния, а затем для нагрева до \( T_f \)):

   • Сначала лед тает: \[ Q_{\text{таянье}} = m_2 \cdot L \]
   • Затем нагревается до \( T_f \): \[ Q_{\text{нагрев}} = m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2) \]

Общее количество теплоты, которое принимает лед: \[ Q_{\text{лед}} = Q_{\text{таянье}} + Q_{\text{нагрев}} = m_2 \cdot L + m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2) \]

Шаг 3: Запишем уравнение теплового баланса

Согласно закону сохранения энергии: \[ Q_{\text{вода}} = Q_{\text{лед}} \]

Подставим выражения: \[ m_1 \cdot c \cdot (T_1 - T_f) = m_2 \cdot L + m_2 \cdot c \cdot (T_f - T_2) \]

Шаг 4: Подставим известные значения

Подставляем значения в уравнение: \[ 0.8 \cdot 4184 \cdot (20 - T_f) = 0.1 \cdot 334000 + 0.1 \cdot 4184 \cdot (T_f - 0) \]

Шаг 5: Упрощение уравнения

Сначала посчитаем левую часть: \[ 0.8 \cdot 4184 \cdot (20 - T_f) = 3347.2 \cdot (20 - T_f) \]

Теперь правую часть: \[ 0.1 \cdot 334000 + 0.1 \cdot 4184 \cdot T_f = 33400 + 418.4 \cdot T_f \]

Шаг 6: Полное уравнение

Получаем уравнение: \[ 3347.2 \cdot (20 - T_f) = 33400 + 418.4 \cdot T_f \]

Шаг 7: Раскроем скобки

\( 3347.2 \cdot 20 - 3347.2 \cdot T_f = 33400 + 418.4 \cdot T_f \)

\( 66944 - 3347.2 T_f = 33400 + 418.4 T_f \)

Шаг 8: Приведем подобные

Соберем всё с \( T_f \) в одну часть: \[ 66944 - 33400 = 3347.2 T_f + 418.4 T_f \] \[ 33544 = (3347.2 + 418.4) T_f \] \[ 33544 = 3765.6 T_f \]

Шаг 9: Найдем \( T_f \)

\[ T_f = \frac{33544}{3765.6} \approx 8.9 \, \text{°C} \]

Ответ

Установившаяся температура воды после того, как весь лед растаял, составляет примерно 8.9 °C.