У паши 2 набора цветной гуаши. В первом наборе 8 цветов, во втором — 6. Школьнику нужно нарисовать плакат, использовав при этом 3 цвета. Сколько способов выбрать цвета есть у Паши?

Давайте решим задачу о выборе цветов для плаката шаг за шагом. 1. **Понимание задачи**: У Паши есть два набора гуаши — в первом наборе 8 цветов, во втором — 6 цветов. Он собирается выбрать 3 цвета для рисования плаката. 2. **Общие возможные варианты**: Нам нужно учесть все возможные сочетания цветов, которые Паша может выбрать из двух наборов. Предположим, что Паша может выбрать цвета как из одного набора, так и из обоих наборов одновременно. 3. **Разделение случаев выбора**: Мы можем рассмотреть следующие случаи: - **Все 3 цвета из первого набора**: Найдем количество способов выбрать 3 цвета из 8. - **Все 3 цвета из второго набора**: Найдем количество способов выбрать 3 цвета из 6. - **2 цвета из первого набора и 1 цвет из второго**: Найдем количество способов выбрать 2 цвета из 8 и 1 цвет из 6. - **1 цвет из первого набора и 2 цвета из второго**: Найдем количество способов выбрать 1 цвет из 8 и 2 цвета из 6. 4. **Формулы для сочетаний**: Мы будем использовать формулу для сочетаний, которая выглядит следующим образом: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \(C(n, k)\) — количество способов выбрать \(k\) элементов из \(n\), а \(n!\) — факториал \(n\). 5. **Рассмотрим каждый случай**: - **Случай 1**: 3 цвета из первого набора (8 цветов). \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] - **Случай 2**: 3 цвета из второго набора (6 цветов). \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] - **Случай 3**: 2 цвета из первого набора и 1 цвет из второго. \[ C(8, 2) \times C(6, 1) = \frac{8!}{2!(8-2)!} \times \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times 6 = 28 \times 6 = 168 \] - **Случай 4**: 1 цвет из первого набора и 2 цвета из второго. \[ C(8, 1) \times C(6, 2) = \frac{8!}{1!(8-1)!} \times \frac{6!}{2!(6-2)!} = 8 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 8 \times 15 = 120 \] 6. **Подсчет общего количества способов**: Теперь складываем все возможные случаи: \[ 56 + 20 + 168 + 120 = 364 \] 7. **Ответ**: Таким образом, у Паши есть 364 способа выбрать 3 цвета для рисования плаката. Если у вас есть дополнительные вопросы по данной задаче или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!