(x-7)(x+5)(x-8)>=0

Чтобы решить неравенство \((x-7)(x+5)(x-8) \geq 0\), давайте разберем решение пошагово.

Шаг 1: Нахождение нулей функции

Сначала найдем корни (нули) функции, приравняв каждое из множителей к нулю.

1. \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)
2. \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
3. \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)

Таким образом, нули функции: \(x = -5\), \(x = 7\), и \(x = 8\).

Шаг 2: Определение промежутков

Теперь разделим числовую прямую на промежутки, используя найденные нули:

• \((- \infty, -5)\)
• \((-5, 7)\)
• \((7, 8)\)
• \((8, + \infty)\)

Шаг 3: Проверка знака функции на каждом промежутке

Теперь нам нужно проверить знак выражения \((x-7)(x+5)(x-8)\) на каждом из этих промежутков. Мы сделаем это, выбрав тестовую точку из каждого промежутка:

1. Промежуток \((- \infty, -5)\):
   Пусть \(x = -6\):
   \((x-7)(x+5)(x-8) = (-6-7)(-6+5)(-6-8) = (-13)(-1)(-14) = -182\) (отрицательно)

2. Промежуток \((-5, 7)\):
   Пусть \(x = 0\):
   \((0-7)(0+5)(0-8) = (-7)(5)(-8) = 280\) (положительно)

3. Промежуток \((7, 8)\):
   Пусть \(x = 7.5\):
   \((7.5-7)(7.5+5)(7.5-8) = (0.5)(12.5)(-0.5) = -3.125\) (отрицательно)

4. Промежуток \((8, + \infty)\):
   Пусть \(x = 9\):
   \((9-7)(9+5)(9-8) = (2)(14)(1) = 28\) (положительно)

Шаг 4: Подведение итогов

Теперь вне зависимости от знака функции, мы запишем интервалы, где \((x-7)(x+5)(x-8) \geq 0\):

• Положительные значения: \((-5, 7)\) и \((8, +\infty)\).
• Включаем нули (условие \(\geq\)): значения \(x = -5\), \(x = 7\), и \(x = 8\).

Шаг 5: Ответ

Таким образом, окончательный ответ:

\[ x \in [-5, 7] \cup [8, +\infty) \]

Это решение нашего неравенства.