(x-7)(x+5)(x-8)>=0

Чтобы решить неравенство \((x-7)(x+5)(x-8) \geq 0\), давайте разберем решение пошагово. ### Шаг 1: Нахождение нулей функции Сначала найдем корни (нули) функции, приравняв каждое из множителей к нулю. 1. \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\) 2. \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\) 3. \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\) Таким образом, нули функции: \(x = -5\), \(x = 7\), и \(x = 8\). ### Шаг 2: Определение промежутков Теперь разделим числовую прямую на промежутки, используя найденные нули: - \((- \infty, -5)\) - \((-5, 7)\) - \((7, 8)\) - \((8, + \infty)\) ### Шаг 3: Проверка знака функции на каждом промежутке Теперь нам нужно проверить знак выражения \((x-7)(x+5)(x-8)\) на каждом из этих промежутков. Мы сделаем это, выбрав тестовую точку из каждого промежутка: 1. **Промежуток \((- \infty, -5)\)**: Пусть \(x = -6\): \((x-7)(x+5)(x-8) = (-6-7)(-6+5)(-6-8) = (-13)(-1)(-14) = -182\) (отрицательно) 2. **Промежуток \((-5, 7)\)**: Пусть \(x = 0\): \((0-7)(0+5)(0-8) = (-7)(5)(-8) = 280\) (положительно) 3. **Промежуток \((7, 8)\)**: Пусть \(x = 7.5\): \((7.5-7)(7.5+5)(7.5-8) = (0.5)(12.5)(-0.5) = -3.125\) (отрицательно) 4. **Промежуток \((8, + \infty)\)**: Пусть \(x = 9\): \((9-7)(9+5)(9-8) = (2)(14)(1) = 28\) (положительно) ### Шаг 4: Подведение итогов Теперь вне зависимости от знака функции, мы запишем интервалы, где \((x-7)(x+5)(x-8) \geq 0\): - Положительные значения: \((-5, 7)\) и \((8, +\infty)\). - Включаем нули (условие \(\geq\)): значения \(x = -5\), \(x = 7\), и \(x = 8\). ### Шаг 5: Ответ Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in [-5, 7] \cup [8, +\infty) \] Это решение нашего неравенства.