Дано: 4(8;-1), B(-8;11), С(-1;-13) Найти: Длины сторон АВ и ВС треугольника АВС Уравнения сторон АВ и ВС 3. Уравнение медианы, проведенной из вершины А Площадь треугольника АВС. 4.

Чтобы решить задачу, давайте начнем с предоставленных координат точек:

• Точка A имеет координаты \( A(4, 8) \)
• Точка B имеет координаты \( B(-8, 11) \)
• Точка C имеет координаты \( C(-1, -13) \)

Шаг 1: Найдем длины сторон AB и BC

Длина отрезка AB:

Длина отрезка \( AB \) определяется с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Где \( A(4, 8) \) и \( B(-8, 11) \):

\[ AB = \sqrt{((-8) - 4)^2 + (11 - 8)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} \approx 12.37 \]

Длина отрезка BC:

Теперь найдем длину отрезка \( BC \):

Где \( B(-8, 11) \) и \( C(-1, -13) \):

\[ BC = \sqrt{((-1) - (-8))^2 + ((-13) - 11)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]

Шаг 2: Уравнения сторон AB и BC

Уравнение прямой AB:

Форма уравнения прямой в общем виде:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

где \( m \) — угловой коэффициент, который можно найти по формуле:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Для \( A(4, 8) \) и \( B(-8, 11) \):

\[ m = \frac{11 - 8}{-8 - 4} = \frac{3}{-12} = -\frac{1}{4} \]

Теперь подставим координаты одной из точек (например, \( A(4, 8) \)) в уравнение:

\[ y - 8 = -\frac{1}{4}(x - 4) \]

Упрощаем:

\[ y - 8 = -\frac{1}{4}x + 1 \] \[ y = -\frac{1}{4}x + 9 \]

Уравнение прямой BC:

Для прямой BC, где \( B(-8, 11) \) и \( C(-1, -13) \):

\[ m = \frac{-13 - 11}{-1 - (-8)} = \frac{-24}{7} \]

Так как снова используем точку B:

\[ y - 11 = -\frac{24}{7}(x + 8) \]

Упрощаем:

\[ y - 11 = -\frac{24}{7}x - \frac{192}{7} \] \[ y = -\frac{24}{7}x + \left(11 - \frac{192}{7}\right) = -\frac{24}{7}x - \frac{125}{7} \]

Шаг 3: Уравнение медианы, проведенной из вершины A

Сначала найдем координаты середины отрезка BC:

\[ M = \left( \frac{-8 + (-1)}{2}, \frac{11 + (-13)}{2} \right) = \left( \frac{-9}{2}, -1 \right) \]

Теперь найдем уравнение медианы AM:

Угловой коэффициент \( m \):

\[ m = \frac{-1 - 8}{-\frac{9}{2} - 4} = \frac{-9}{-\frac{17}{2}} = \frac{9 \cdot 2}{17} = \frac{18}{17} \]

Уравнение медианы:

\[ y - 8 = \frac{18}{17}(x - 4) \]

Упрощаем:

\[ y - 8 = \frac{18}{17}x - \frac{72}{17} \] \[ y = \frac{18}{17}x + \left( 8 - \frac{72}{17} \right) = \frac{18}{17}x + \frac{136 - 72}{17} = \frac{18}{17}x + \frac{64}{17} \]

Шаг 4: Площадь треугольника ABC

Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \]

Подставляя координаты:

\[ S = \frac{1}{2} \left| 4(11 - (-13)) + (-8)(-13 - 8) + (-1)(8 - 11) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 4(24) + (-8)(-21) + (-1)(-3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 96 + 168 + 3 \right| = \frac{1}{2} \left| 267 \right| = 133.5 \]

Итоговые ответы:

1. Длина AB ≈ 12.37, длина BC = 25.
2. Уравнение AB: \( y = -\frac{1}{4}x + 9 \), уравнение BC: \( y = -\frac{24}{7}x - \frac{125}{7} \).
3. Уравнение медианы AM: \( y = \frac{18}{17}x + \frac{64}{17} \).
4. Площадь треугольника ABC = 133.5.