x-2/x+2=x+3/x-4 найдите корень уравнения

Чтобы решить уравнение \( \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x - 4} \), следуйте пошаговому решению:

Шаг 1: Устранение дробей

Чтобы избавиться от дробей, воспользуемся методом перекрестного умножения. Умножим правую и левую части на \( (x + 2)(x - 4) \):

\[ (x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2) \]

Шаг 2: Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Для левой части: \[ (x - 2)(x - 4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8 \]

Для правой части: \[ (x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6 \]

Шаг 3: Составление уравнения

Теперь подставим полученные выражения в уравнение:

\[ x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6 \]

Шаг 4: Перенос всех членов на одну сторону

Вырежем \( x^2 \) на обеих сторонах:

\[ -6x + 8 = 5x + 6 \]

Теперь переносим все элементы с \( x \) влево, а постоянные вправо:

\[ -6x - 5x = 6 - 8 \]

Шаг 5: Упрощение

Упрощаем левую и правую части:

\[ -11x = -2 \]

Шаг 6: Найти \( x \)

Теперь делим обе стороны на \(-11\):

\[ x = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} \]

Шаг 7: Проверка

Не забудем проверить найденное значение \( x \) в исходном уравнении, чтобы убедиться, что оно действительно подходит:

Проверим:

\[ \frac{\frac{2}{11} - 2}{\frac{2}{11} + 2} = \frac{\frac{2}{11} + 3}{\frac{2}{11} - 4} \]

Вычисляем каждую часть:

1. Левую часть:

\[ \frac{\frac{2}{11} - 2}{\frac{2}{11} + 2} = \frac{\frac{2}{11} - \frac{22}{11}}{\frac{2}{11} + \frac{22}{11}} = \frac{\frac{-20}{11}}{\frac{24}{11}} = \frac{-20}{24} = -\frac{5}{6} \]

2. Правую часть:

\[ \frac{\frac{2}{11} + 3}{\frac{2}{11} - 4} = \frac{\frac{2}{11} + \frac{33}{11}}{\frac{2}{11} - \frac{44}{11}} = \frac{\frac{35}{11}}{\frac{-42}{11}} = \frac{35}{-42} = -\frac{5}{6} \]

Обе части равны, значит \( x = \frac{2}{11} \) — правильное решение.

Ответ:

Корень уравнения \( x = \frac{2}{11} \).