вероятность успеха равно 0,37 всего 8 испытаний. Определите вероятность 3 успехов
Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой биномиального распределения. Биномиальное распределение используется для нахождения вероятностей в ситуациях, когда у нас есть фиксированное количество независимых испытаний, каждый из которых имеет два возможных исхода (успех или неудача).
Определим необходимые параметры:
- n (количество испытаний) = 8
- k (количество успехов) = 3
- p (вероятность успеха в одном испытании) = 0,37
- q (вероятность неуспеха) = 1 - p = 1 - 0,37 = 0,63
Формула биномиального распределения:
Вероятность получения ровно k успехов из n испытаний рассчитывается по следующей формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, рассчитываемый по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
Шаги решения:
Вычислим биномиальный коэффициент \(C(8, 3)\):
\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3! \cdot (8 - 3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Теперь рассчитаем факториалы:
\[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
Теперь подставим значения:
\[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56 \]
Вычислим \(p^3\) и \(q^{n-k}\):
\[ p^3 = (0,37)^3 \approx 0,050653 \] \[ q^{n-k} = (0,63)^{8-3} = (0,63)^5 \approx 0,292420 \]
Подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 3) = C(8, 3) \cdot p^3 \cdot q^{5} \] \[ P(X = 3) = 56 \cdot 0,050653 \cdot 0,292420 \approx 0,82861 \]
Ответ:
Вероятность того, что из 8 испытаний будет ровно 3 успеха, составляет примерно 0,82861 или 82,861%.
Так мы пришли к искомой вероятности! Если есть дополнительные вопросы или нужно разобрать какую-то другую задачу, пожалуйста, обращайтесь.
