Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом…
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
Давайте тщательно разберем задачу шаг за шагом.
Задача:
- Заёмщик планирует взять кредит на целое число миллионов рублей на пять лет.
- Каждый год долг заёмщика увеличивается на 20%.
- В конце первых трех лет заёмщик выплачивает только проценты.
- В конце четвёртого и пятого года заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг.
- Необходимо найти наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат меньше 7 млн рублей.
Обозначим переменные:
- Пусть \( C \) — сумма кредита (в миллионах рублей).
- Процентная ставка составляет 20% в год.
Расчеты:
Шаг 1: Расчёт долга за первый, второй и третий годы.
- В начале каждого года заёмщик имеет долг \( C \).
- Каждые 20% от \( C \) — это \( 0.2C \) — это сумма процентов, которую заёмщик платит в конце каждого года.
Таким образом,
- В конце первого года сумма выплат: \( 0.2C \)
- В конце второго года сумма выплат: \( 0.2C \)
- В конце третьего года сумма выплат: \( 0.2C \)
Общая сумма выплат за первые три года: \[ 0.2C + 0.2C + 0.2C = 0.6C \]
Шаг 2: Рассмотрим долг в конце третьего года. По окончании третьего года долг остаётся \( C \), но теперь начинаются выплаты основного долга.
- Долг умножается на 20% в первый день четвёртого года. \[ D_4 = C \times (1 + 0.2) = C \times 1.2 \] У заёмщика суммарный долг в начале четвёртого года: \( 1.2C \).
Шаг 3: Расчёт выплат в четвёртом и пятом годах. Пусть \( X \) — сумма, которую заёмщик выплачивает в конце 4-го и 5-го годов. Заёмщик должен выплатить весь долг. \[ X + X = 1.2C \] Таким образом, \[ 2X = 1.2C \Rightarrow X = 0.6C \]
Шаг 4: Общая сумма выплат. Соберем все суммы: \[ \text{Общая сумма выплат} = 0.6C + 0.6C + 0.6C = 1.8C \]
Шаг 5: Условие задачи.
Чтобы общая сумма выплат была меньше 7 млн рублей, нам нужно решить неравенство: \[ 1.8C < 7 \] Делим обе стороны на 1.8: \[ C < \frac{7}{1.8} \approx 3.8888 \]
Поскольку заёмщик может взять только целое число миллионов: \[ C \leq 3 \]
Ответ:
Наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 миллионов рублей, составляет 3 миллиона рублей.
