8. В треугольнике MNK угол №МК равен 30°, MK = KN. Найди внешний угол при вершине К.

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем её по шагам.

1. Дано: Мы имеем треугольник MNK, где угол при вершине M (обозначим его ∠MK) равен 30°. Также нам известно, что отрезки MK и KN равны, то есть MK = KN. Это означает, что треугольник MNK является равнобедренным, с боковыми сторонами MK и KN равными.

2. Найдем угол при вершине K:

   • Обозначим угол ∠MNK как α. Поскольку треугольник MNK равнобедренный, углы при основании (углы ∠MKN и ∠MNK) будут равны. То есть: \[ ∠MKN = ∠MNK = α \]

3. Сумма углов в треугольнике:

   • Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Для треугольника MNK это можно записать как: \[ ∠MK + ∠MKN + ∠MNK = 180° \] Подставляем известные значения: \[ 30° + α + α = 180° \] Это упростим: \[ 30° + 2α = 180° \] Теперь вычтем 30° из обеих сторон: \[ 2α = 180° - 30° \] \[ 2α = 150° \] Теперь разделим обе стороны на 2: \[ α = 75° \]

4. Находим внешний угол при вершине K:

   • Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных углов. В данном случае внешний угол при вершине K (обозначим его ∠K') равен углам ∠MK и ∠MNK: \[ ∠K' = ∠MK + ∠MNK = 30° + 75° \] Сложим углы: \[ ∠K' = 105° \]

5. Ответ: Внешний угол при вершине K равен 105°.

Таким образом, мы нашли внешний угол, используя свойства равнобедренного треугольника и знание о том, как связаны внутренние и внешние углы.