th(1/2x-2π/3)≤1

Для решения неравенства \( \tan\left(\frac{1}{2}x - \frac{2\pi}{3}\right) \leq 1 \) начнем с его преобразования и поиска допустимых значений переменной \( x \).

Шаг 1: Понимание тангенса

Тангенс — это периодическая функция, которая имеет период \( \pi \). Это означает, что значения тангенса повторяются каждые \( \pi \) радиан.

Шаг 2: Решение неравенства

Неравенство \( \tan(A) \leq 1 \) выполняется, когда: \[ A \leq \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ A \geq \frac{5\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

В нашем случае \( A = \frac{1}{2}x - \frac{2\pi}{3} \). Подставим его в неравенство: \[ \frac{1}{2}x - \frac{2\pi}{3} \leq \frac{\pi}{4} + k\pi \]

Шаг 3: Решение первой части неравенства

1. Переносим \( -\frac{2\pi}{3} \) в правую часть: \[ \frac{1}{2}x \leq \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + k\pi \]
2. Приводим к общему знаменателю. Общим знаменателем для \( 4 \) и \( 3 \) будет \( 12 \):

\[ \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}, \quad \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{12} \] Таким образом: \[ \frac{1}{2}x \leq \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} + k\pi = \frac{11\pi}{12} + k\pi \] 3. Умножаем обе стороны на \( 2 \): \[ x \leq \frac{22\pi}{12} + 2k\pi = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \]

Шаг 4: Решение второй части неравенства

Теперь рассматриваем вторую часть: \[ \frac{1}{2}x - \frac{2\pi}{3} \geq \frac{5\pi}{4} + k\pi \]

1. Переносим \( -\frac{2\pi}{3} \) в правую часть: \[ \frac{1}{2}x \geq \frac{5\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + k\pi \]
2. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{5\pi}{4} = \frac{15\pi}{12}, \quad \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{12} \] Таким образом: \[ \frac{1}{2}x \geq \frac{15\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} + k\pi = \frac{23\pi}{12} + k\pi \]
3. Умножаем обе стороны на \( 2 \): \[ x \geq \frac{46\pi}{12} + 2k\pi = \frac{23\pi}{6} + 2k\pi \]

Шаг 5: Объединение решений

Объединяя обе части, мы можем записать решение неравенства в виде: \[ x \leq \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x \geq \frac{23\pi}{6} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]

Заключение

Таким образом, итоговое решение неравенства будет представлено в виде двух интервалов для разных значений \( k \), что означает, что мы нашли все возможные \( x \), удовлетворяющие исходному неравенству.