x^2-4x+3>=0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 4x + 3 \geq 0\), следуем отдельным шагам.
Шаг 1: Найдем корни уравнения
Сначала решим соответствующее уравнение \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Для этого можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь:
- \(a = 1\)
- \(b = -4\)
- \(c = 3\)
Подставляем значения в формулу:
\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \]
Теперь считаем корни:
\[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Это дает нам два корня:
- \(x_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
- \(x_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Шаг 2: Определим интервалы
Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 3\). Эти корни делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Шаг 3: Проверим знаки функции на интервалах
Теперь нам нужно проверить, будет ли выражение \(x^2 - 4x + 3\) положительным илиNegativ в каждом из этих интервалов.
- Интервал \( (-\infty, 1) \): Выберите \(x = 0\):
\[ 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \quad (\text{положительно}) \]
- Интервал \( (1, 3) \): Выберите \(x = 2\):
\[ 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \quad (\text{отрицательно}) \]
- Интервал \( (3, +\infty) \): Выберите \(x = 4\):
\[ 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \quad (\text{положительно}) \]
Шаг 4: Итоговое решение
Теперь можем их проанализировать:
- В интервале \( (-\infty, 1) \) функция положительна.
- В интервале \( (1, 3) \) функция отрицательна.
- В интервале \( (3, +\infty) \) функция положительна.
Так как нам нужно неравенство \(x^2 - 4x + 3 \geq 0\), это означает, что мы ищем области, где функция положительна или равна нулю.
Корни \(x = 1\) и \(x = 3\) включены в решение, так как неравенство \( \geq \) включает равенство.
Ответ
Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 4x + 3 \geq 0\):
\[ (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) \]
