площадь прямоугольного треугольника 180см² найдите кадеты треугольника если сумма равна 39см
Чтобы решить задачу о нахождении катетов прямоугольного треугольника, зная его площадь и сумму катетов, давайте разберем все шаги подробно.
Дано:
- Площадь треугольника: \( S = 180 \, \text{см}^2 \)
- Сумма катетов: \( a + b = 39 \, \text{см} \)
Формула площади прямоугольного треугольника: Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — это катеты треугольника.
Подставим известные значения: Мы знаем, что площадь равна 180 см², поэтому: \[ 180 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 360 = a \cdot b \]
У нас есть система уравнений: Теперь у нас есть два уравнения: \[ a + b = 39 \] \[ a \cdot b = 360 \]
Решим систему уравнений: Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 39 - a \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ a \cdot (39 - a) = 360 \]
Раскроем скобки: \[ 39a - a^2 = 360 \]
Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 39a + 360 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 \] \[ D = 1521 - 1440 = 81 \]
Поскольку дискриминант положителен, у нас будет два различных корня. Находим корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 \pm 9}{2} \]
Вычислим оба корня: \[ a_1 = \frac{39 + 9}{2} = 24 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{39 - 9}{2} = 15 \]
Найдем катеты: Если \( a = 24 \), то: \[ b = 39 - 24 = 15 \]
Если \( a = 15 \), то: \[ b = 39 - 15 = 24 \]
Таким образом, катеты треугольника:
- \( a = 24 \, \text{см} \)
- \( b = 15 \, \text{см} \)
Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 15 см.
Это решение дает вам понимание о том, как найти катеты прямоугольного треугольника, используя его площадь и сумму катетов.
