Площадь прямоугольного треугольника 180см² найдите кадеты треугольника если сумма равна 39см

Чтобы решить задачу о нахождении катетов прямоугольного треугольника, зная его площадь и сумму катетов, давайте разберем все шаги подробно. 1. **Дано:** - Площадь треугольника: \( S = 180 \, \text{см}^2 \) - Сумма катетов: \( a + b = 39 \, \text{см} \) 2. **Формула площади прямоугольного треугольника:** Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — это катеты треугольника. 3. **Подставим известные значения:** Мы знаем, что площадь равна 180 см², поэтому: \[ 180 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 360 = a \cdot b \] 4. **У нас есть система уравнений:** Теперь у нас есть два уравнения: \[ a + b = 39 \] \[ a \cdot b = 360 \] 5. **Решим систему уравнений:** Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 39 - a \] Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ a \cdot (39 - a) = 360 \] Раскроем скобки: \[ 39a - a^2 = 360 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 39a + 360 = 0 \] 6. **Решим квадратное уравнение:** Мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 \] \[ D = 1521 - 1440 = 81 \] Поскольку дискриминант положителен, у нас будет два различных корня. Находим корни: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 \pm 9}{2} \] Вычислим оба корня: \[ a_1 = \frac{39 + 9}{2} = 24 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{39 - 9}{2} = 15 \] 7. **Найдем катеты:** Если \( a = 24 \), то: \[ b = 39 - 24 = 15 \] Если \( a = 15 \), то: \[ b = 39 - 15 = 24 \] Таким образом, катеты треугольника: - \( a = 24 \, \text{см} \) - \( b = 15 \, \text{см} \) 8. **Ответ:** Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 15 см. Это решение дает вам понимание о том, как найти катеты прямоугольного треугольника, используя его площадь и сумму катетов.