√2*sin(3П/2+x)*cos(3П/2-x)=cosx

Чтобы решить уравнение √2*sin(3π/2 + x)*cos(3π/2 - x) = cos(x), действуем поэтапно. ### Шаг 1: Упростим выражения Сначала вспомним значения тригонометрических функций в точках 3π/2: - sin(3π/2) = -1 - cos(3π/2) = 0 Также воспользуемся формулами сложных аргументов тригонометрических функций: - sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) - cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) ### Шаг 2: Применим формулы 1. В выражении sin(3π/2 + x): \[ sin(3π/2 + x) = sin(3π/2)cos(x) + cos(3π/2)sin(x) = -1 \cdot cos(x) + 0 \cdot sin(x) = -cos(x) \] 2. В выражении cos(3π/2 - x): \[ cos(3π/2 - x) = cos(3π/2)cos(x) + sin(3π/2)sin(x) = 0 \cdot cos(x) + (-1) \cdot sin(x) = -sin(x) \] ### Шаг 3: Подставим упрощенные выражения в уравнение Теперь подставим эти значения в уравнение: \[ \sqrt{2} \cdot (-cos(x)) \cdot (-sin(x)) = cos(x) \] Упрощаем левую часть: \[ \sqrt{2} \cdot cos(x) \cdot sin(x) = cos(x) \] ### Шаг 4: Переносим все в одну сторону и раскроем скобки Теперь можем привести уравнение к единой форме: \[ \sqrt{2} \cdot cos(x) \cdot sin(x) - cos(x) = 0 \] Или, выделив cos(x): \[ cos(x) (\sqrt{2} \cdot sin(x) - 1) = 0 \] ### Шаг 5: Решим полученное уравнение Теперь у нас есть два множителя: 1. cos(x) = 0 2. \(\sqrt{2} \cdot sin(x) - 1 = 0\) #### Решение 1: cos(x) = 0 Решение cos(x) = 0: \[ x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] #### Решение 2: \(\sqrt{2} \cdot sin(x) - 1 = 0\) Решим второе уравнение: \[ \sqrt{2} \cdot sin(x) = 1 \implies sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Решения: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Итоговые решения Таким образом, общее решение для нашего уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] и \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Вывод Мы нашли все возможные значения \( x \), при которых выполняется данное уравнение, используя свойства тригонометрических функций и их преобразования. Если у тебя есть дополнительные вопросы по решению или по другим темам, не стесняйся спрашивать!