Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=8 МПа; σy=−3 МПа; σz=7 МПа; τzy=−3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных…
Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=8 МПа; σy=−3 МПа; σz=7 МПа; τzy=−3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных площадок и главные деформации. 3. Третье главное напряжение равно (ответ приведите в [МПа], оставляя при этом не менее 3х значащих цифр)...
Для вычисления главных напряжений необходимо использовать теорию напряжений. Главные напряжения — это собственные значения тензора напряжений. В данном случае, нам нужно только третье главное напряжение.
Шаги вычисления:
Матрица напряжений
Тензор напряжений в данном случае будет следующим:\[ \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z \\ \end{pmatrix} \]
Подставим значения:
\[ \sigma = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -3 & 7 \\ \end{pmatrix} \]
Характеристическое уравнение
Главные напряжения являются корнями характеристического уравнения, получаемого из уравнения:\[ \det(\sigma - \lambda I) = 0 \]
где \(\lambda\) — это главное напряжение, а \(I\) — единичная матрица.
Подставим нашу матрицу:
\[ \begin{vmatrix} 8 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & -3 - \lambda & -3 \\ 0 & -3 & 7 - \lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \]
Решение
Для упрощенной матрицы, как в нашем случае, характеристическое уравнение можно разложить на две части:- \((8 - \lambda)\)
- Субматрица из элементов по диагонали со сдвигом \((-3 - \lambda)(7 - \lambda) - (-3)^2 = 0\)
Рассмотрим обе части:
\(\lambda_1 = 8\) (решение из первой части)
Для второй части:
\[ (-3 - \lambda)(7 - \lambda) - 9 = 0 \]
Решим данное уравнение для \(\lambda\):
\[ (-3 - \lambda)(7 - \lambda) - 9 = (\lambda^2 - 4\lambda - 21) - 9 = \lambda^2 - 4\lambda - 30 = 0 \]
Найдем корни квадратного уравнения:
\[ \lambda_{2,3} = \frac{4 \pm \sqrt{(4)^2 + 4 \cdot 30}}{2} \]
\[ \lambda_{2,3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 120}}{2} \]
\[ \lambda_{2,3} = \frac{4 \pm \sqrt{136}}{2} \]
\[ \lambda_{2,3} = \frac{4 \pm 11.662}{2} \]
\[ \lambda_2 = \frac{15.662}{2} = 7.831 \]
\[ \lambda_3 = \frac{-7.662}{2} = -3.831 \]
Ответ
Третье главное напряжение равно \(-3.831 \, \text{МПа}\).
