Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Мы знаем, что:
- Средний рост участниц театрального кружка равен 146 см.
- Всего участниц - 5 человек.
- Нужно определить, сколько из этих участниц могут иметь рост ниже 142 см.
Для начала вспомним, что средний рост рассчитывается по формуле:
[
\text{Средний рост} = \frac{\text{Сумма ростов участниц}}{\text{Количество участниц}}
]
В нашем случае, если обозначим сумму ростов участниц как ( S ), то можем записать:
[
146 = \frac{S}{5}
]
Отсюда выразим сумму ростов:
[
S = 146 \times 5 = 730 \text{ см}
]
Теперь мы знаем, что суммарный рост всех участниц составляет 730 см.
Теперь давайте определим наибольшее количество участниц, которые могут иметь рост ниже 142 см. Для этого предположим, что ( n ) участниц имеют рост ниже 142 см. Для упрощения расчетов, давайте предположим, что рост каждой из этих участниц составляет 141 см (это максимальный рост, который все еще меньше 142 см). Остальные участницы будут иметь рост, который позволит достичь в общей сложности 730 см.
Таким образом, если ( n ) участниц имеют рост 141 см, то их общий рост составит:
[
H_n = 141n
]
Оставшиеся участницы (то есть ( 5 - n )) будут иметь рост, который обеспечит средний рост 146 см. Обозначим рост одной из этих участниц как ( H_{max} ) (этот рост должен быть достаточно большим, чтобы уравновесить рост остальных девочек).
Теперь можем записать уравнение для общей суммы:
[
H_n + H_{max}(5 - n) = 730
]
Подставим выражение для ( H_n ):
[
141n + H_{max}(5 - n) = 730
]
Теперь можем выразить ( H_{max} ):
[
H_{max}(5 - n) = 730 - 141n
]
[
H_{max} = \frac{730 - 141n}{5 - n}
]
Теперь, чтобы ( H_{max} ) был физически возможным (то есть, рост участницы не мог превышать 200 см), составим неравенство:
[
\frac{730 - 141n}{5 - n} \leq 200
]
Умножим обе стороны на (5 - n) (при условии, что ( n < 5 ), чтобы избежать ошибки деления на ноль):
[
730 - 141n \leq 200(5 - n)
]
[
730 - 141n \leq 1000 - 200n
]
Переносим все в одну сторону:
[
200n - 141n \leq 1000 - 730
]
[
59n \leq 270
]
[
n \leq \frac{270}{59} \approx 4.576
]
Так как ( n ) должно быть целым числом, то наибольшее возможное значение ( n ) равно 4.
Таким образом, наибольшее количество участниц, рост которых ниже 142 см, составляет 4 человека.
Это значит, что при 4 участницах ростом 141 см, одна участница должна иметь рост выше 200 см для достижения средней 146 см, что на практике невозможно. Однако фактически, если 4 участницы меньше 142 см, то одна может иметь минимальный возможный для достижения 730 см рост больше 200.
Таким образом, ответ на задачу - 4 участницы могут быть ниже 142 см.
