log_(2 x) ( x + 4 ) * log_x ( 2 - x ) ≤ 0
Для начала, давайте преобразуем неравенство: \( \log_{2x}(x+4) \cdot \log_x(2-x) \leq 0 \).
Так как все логарифмы имеют основания больше 1, мы знаем, что они определены только для положительных значений в скобках. Поэтому нам необходимо рассмотреть возможные случаи:
- \( x > 0 \) (поскольку основание логарифма всегда положительно)
- \( 2 - x > 0 \) (так как \( \log_x(2 - x) \) определён только для положительных значений)
Сначала найдем область допустимых значений \( x \), удовлетворяющую условиям 1 и 2. Решив неравенство \( 2 - x > 0 \), мы получим \( x < 2 \). Таким образом, для \( x \) должно быть выполнено условие \( 0 < x < 2 \).
Теперь рассмотрим знак произведения \( \log_{2x}(x+4) \cdot \log_x(2-x) \). Чтобы произведение было неотрицательным (меньше или равным нулю), либо оба множителя должны быть неотрицательными, либо оба должны быть отрицательными.
Так как \( \log_{2x}(x+4) \) и \( \log_x(2-x) \) являются положительными при \( 0 < x < 2 \) (так как значения в скобках положительны), произведение будет неотрицательным в этом диапазоне значений \( x \).
Таким образом, решение неравенства \( \log_{2x}(x+4) \cdot \log_x(2-x) \leq 0 \) для \( 0 < x < 2 \) будет:
\[ 0 < x < 2 \]
