Чтобы вычислить производную функции ( y = (5x + 2)^4 ), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции, известное как правило цепочки. Давайте разобьем решение на шаги.
Шаг 1: Определим внешнюю и внутреннюю функции
Наша функция состоит из двух частей:
- Внутренняя функция: ( u = 5x + 2 )
- Внешняя функция: ( y = u^4 )
Шаг 2: Найдем производные необходимых функций
Найдём производную внутренней функции ( u = 5x + 2 ):
[
\frac{du}{dx} = 5
]
Найдём производную внешней функции ( y = u^4 ):
[
\frac{dy}{du} = 4u^3
]
Шаг 3: Применим правило цепочки
Согласно правилу цепочки:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
]
Теперь подставим найденные производные:
[
\frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 5
]
Шаг 4: Подставим обратно внутреннюю функцию
Теперь, когда у нас есть производная в терминах ( u ), мы можем подставить выражение для ( u ):
[
\frac{dy}{dx} = 4(5x + 2)^3 \cdot 5
]
Шаг 5: Упростим выражение
Теперь умножим:
[
\frac{dy}{dx} = 20(5x + 2)^3
]
Ответ
Таким образом, производная функции ( y = (5x + 2)^4 ) равна:
[
\frac{dy}{dx} = 20(5x + 2)^3
]
Резюме
Мы использовали правило цепочки для нахождения производной функции, состоящей из внешней и внутренней функций. Если у вас остались вопросы или нужда в дополнительных объяснениях, не стесняйтесь задавать!
