вычислить производную функцию у=(5х+2)⁴

Чтобы вычислить производную функции \( y = (5x + 2)^4 \), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции, известное как правило цепочки. Давайте разобьем решение на шаги.

Шаг 1: Определим внешнюю и внутреннюю функции

Наша функция состоит из двух частей:

• Внутренняя функция: \( u = 5x + 2 \)
• Внешняя функция: \( y = u^4 \)

Шаг 2: Найдем производные необходимых функций

1. Найдём производную внутренней функции \( u = 5x + 2 \): \[ \frac{du}{dx} = 5 \]

2. Найдём производную внешней функции \( y = u^4 \): \[ \frac{dy}{du} = 4u^3 \]

Шаг 3: Применим правило цепочки

Согласно правилу цепочки: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

Теперь подставим найденные производные: \[ \frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 5 \]

Шаг 4: Подставим обратно внутреннюю функцию

Теперь, когда у нас есть производная в терминах \( u \), мы можем подставить выражение для \( u \): \[ \frac{dy}{dx} = 4(5x + 2)^3 \cdot 5 \]

Шаг 5: Упростим выражение

Теперь умножим: \[ \frac{dy}{dx} = 20(5x + 2)^3 \]

Ответ

Таким образом, производная функции \( y = (5x + 2)^4 \) равна: \[ \frac{dy}{dx} = 20(5x + 2)^3 \]

Резюме

Мы использовали правило цепочки для нахождения производной функции, состоящей из внешней и внутренней функций. Если у вас остались вопросы или нужда в дополнительных объяснениях, не стесняйтесь задавать!