Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел , которые при делении на 13 дают в остатке 7
Чтобы найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, давайте последовательно пройдем через решение этой задачи.
Шаг 1: Определение условий задачи
Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99. Мы ищем такие числа \( x \), что при делении \( x \) на 13 остается 7. Это можно записать следующим образом:
\[ x \equiv 7 \, (\text{mod} \, 13) \]
Шаг 2: Приведение выражения к стандартному виду
Число \( x \), которое удовлетворяет данному условию, можно выразить как:
\[ x = 13k + 7 \]
где \( k \) — целое число.
Шаг 3: Определение границ для k
Так как \( x \) должно быть двузначным, мы подставим границы:
\[ 10 \leq 13k + 7 \leq 99 \]
Теперь мы решим эти неравенства.
- Для левой части:
\[ 13k + 7 \geq 10 \] \[ 13k \geq 3 \] \[ k \geq \frac{3}{13} \approx 0.23 \]
Так как \( k \) должно быть целым, принимаем \( k \geq 1 \).
- Для правой части:
\[ 13k + 7 \leq 99 \] \[ 13k \leq 92 \] \[ k \leq \frac{92}{13} \approx 7.08 \]
Так как \( k \) должно быть целым, принимаем \( k \leq 7 \).
Шаг 4: Определение возможных значений k
Итак, возможные значения \( k \) будут от 1 до 7:
\[ k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \]
Шаг 5: Подсчет значений x
Теперь подставим полученные значения \( k \) обратно в формулу \( x = 13k + 7 \):
- Для \( k = 1: x = 13 \cdot 1 + 7 = 20 \)
- Для \( k = 2: x = 13 \cdot 2 + 7 = 33 \)
- Для \( k = 3: x = 13 \cdot 3 + 7 = 46 \)
- Для \( k = 4: x = 13 \cdot 4 + 7 = 59 \)
- Для \( k = 5: x = 13 \cdot 5 + 7 = 72 \)
- Для \( k = 6: x = 13 \cdot 6 + 7 = 85 \)
- Для \( k = 7: x = 13 \cdot 7 + 7 = 98 \)
Таким образом, двузначные числа, которые удовлетворяют условию — это 20, 33, 46, 59, 72, 85 и 98.
Шаг 6: Суммирование найденных чисел
Теперь найдем сумму:
\[ 20 + 33 + 46 + 59 + 72 + 85 + 98 \]
Сначала сложим числа по парам:
\[ (20 + 98) + (33 + 85) + (46 + 72) + 59 \]
- \( 20 + 98 = 118 \)
- \( 33 + 85 = 118 \)
- \( 46 + 72 = 118 \)
Теперь сложим все результаты вместе:
\[ 118 + 118 + 118 + 59 = 413 \]
Ответ
Сумма всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, равна 413.
