Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел , которые при делении на 13 дают в остатке 7

Чтобы найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, давайте последовательно пройдем через решение этой задачи. ### Шаг 1: Определение условий задачи Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99. Мы ищем такие числа \( x \), что при делении \( x \) на 13 остается 7. Это можно записать следующим образом: \[ x \equiv 7 \, (\text{mod} \, 13) \] ### Шаг 2: Приведение выражения к стандартному виду Число \( x \), которое удовлетворяет данному условию, можно выразить как: \[ x = 13k + 7 \] где \( k \) — целое число. ### Шаг 3: Определение границ для k Так как \( x \) должно быть двузначным, мы подставим границы: \[ 10 \leq 13k + 7 \leq 99 \] Теперь мы решим эти неравенства. 1. Для левой части: \[ 13k + 7 \geq 10 \] \[ 13k \geq 3 \] \[ k \geq \frac{3}{13} \approx 0.23 \] Так как \( k \) должно быть целым, принимаем \( k \geq 1 \). 2. Для правой части: \[ 13k + 7 \leq 99 \] \[ 13k \leq 92 \] \[ k \leq \frac{92}{13} \approx 7.08 \] Так как \( k \) должно быть целым, принимаем \( k \leq 7 \). ### Шаг 4: Определение возможных значений k Итак, возможные значения \( k \) будут от 1 до 7: \[ k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \] ### Шаг 5: Подсчет значений x Теперь подставим полученные значения \( k \) обратно в формулу \( x = 13k + 7 \): - Для \( k = 1: x = 13 \cdot 1 + 7 = 20 \) - Для \( k = 2: x = 13 \cdot 2 + 7 = 33 \) - Для \( k = 3: x = 13 \cdot 3 + 7 = 46 \) - Для \( k = 4: x = 13 \cdot 4 + 7 = 59 \) - Для \( k = 5: x = 13 \cdot 5 + 7 = 72 \) - Для \( k = 6: x = 13 \cdot 6 + 7 = 85 \) - Для \( k = 7: x = 13 \cdot 7 + 7 = 98 \) Таким образом, двузначные числа, которые удовлетворяют условию — это 20, 33, 46, 59, 72, 85 и 98. ### Шаг 6: Суммирование найденных чисел Теперь найдем сумму: \[ 20 + 33 + 46 + 59 + 72 + 85 + 98 \] Сначала сложим числа по парам: \[ (20 + 98) + (33 + 85) + (46 + 72) + 59 \] 1. \( 20 + 98 = 118 \) 2. \( 33 + 85 = 118 \) 3. \( 46 + 72 = 118 \) Теперь сложим все результаты вместе: \[ 118 + 118 + 118 + 59 = 413 \] ### Ответ Сумма всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, равна **413**.