log4((x-3)(10+3x-x²))+log4 7-x/10+3x+-x²≤-1+log4(2x+4

Чтобы решить неравенство

\[ \log_4((x-3)(10+3x-x^2)) + \frac{\log_4 (7-x)}{10+3x-x^2} \leq -1 + \log_4(2x + 4), \]

следуем пошагово.

Шаг 1: Объединение логарифмов

Сначала мы можем упростить левые части неравенства, используя свойства логарифмов. Напомним, что: \[ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \] и \[ \log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right). \]

Шаг 2: Приведение к одной логарифмической форме

Запишем неравенство в более простой форме: \[ \log_4\left((x-3)(10+3x-x^2)\right) \leq -1 + \log_4(2x + 4) - \frac{\log_4 (7-x)}{10+3x-x^2}. \] Теперь приведем правую часть к логарифмическому виду. Мы можем выразить \(-1\) как \(\log_4(4^{-1})\): \[ \log_4\left((x-3)(10+3x-x^2)\right) \leq \log_4\left(\frac{2x + 4}{4}\right) - \frac{\log_4 (7-x)}{10+3x-x^2}. \]

Шаг 3: Устранение логарифмов

Чтобы избавиться от логарифмов, можно рассмотреть эквивалентное уравнение: \[ (x-3)(10+3x-x^2) \leq \frac{2x + 4}{4} \cdot (7-x)^{\frac{1}{10 + 3x - x^2}}. \]

Шаг 4: Определение ограничений

Необходимо определить область допустимых значений \(x\), которая определяется условиями:

1. \(x - 3 > 0\) (так как логарифм не определен для нуля и отрицательных чисел)
2. \(10 + 3x - x^2 > 0\)
3. \(7 - x > 0\)
4. \(2x + 4 > 0\)

Решая каждое из условий:

1. \(x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3\)
2. \(10 + 3x - x^2 > 0\) (это можно решить как квадратное уравнение: \(x^2 - 3x - 10 < 0\))
3. \(7 - x > 0 \Rightarrow x < 7\)
4. \(2x + 4 > 0 \Rightarrow x > -2\)

Шаг 5: Анализ квадратного уравнения

Решим \(x^2 - 3x - 10 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2} = 5 \text{ и } -2. \] Квадратное уравнение \(x^2 - 3x - 10\) меньше нуля на интервале \( (-2, 5) \).

Шаг 6: Подведение итогов

Таким образом, для того чтобы \(x\) удовлетворяло всем условиям:

• \(x > 3\)
• \(x < 7\)
• \(x \in (-2, 5)\) приводит к интервалу \(3 < x < 5\).

Ответ: \(3 < x < 5\)

Это значит, что решения неравенства имеют место на интервале от 3 до 5 (не включая границы).