Для решения задачи о площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды, начнем с определения необходимых параметров.
Шаг 1: Понимание термина "апофема"
Апофема пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания, проведенное перпендикулярно к основанию. В данном случае, апофема равна 8 см, и угол между апофемой и плоскостью основания равен 60 градусов.
Шаг 2: Находить высоту и боковую сторону
Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту пирамиды и длину стороны основания.
Найдем высоту (h) пирамиды:
- В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, апофемой и половиной стороны основания (которая равна ( \frac{a}{2} ), где ( a ) — длина стороны основания), у нас есть:
[
\tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}}
]
Мы знаем, что ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ). Подставляем это в уравнение:
[
\sqrt{3} = \frac{h}{\frac{a}{2}} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}
]
Также используем косинус для нахождения стороны основания:
[
\cos(60^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{8}
]
Так как ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ):
[
\frac{1}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{8} \implies \frac{a}{2} = 4 \implies a = 8 \text{ см}
]
Шаг 3: Находим высоту пирамиды
Теперь мы можем вычислить высоту ( h ):
[
h = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}
]
Шаг 4: Нахождение площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле:
[
S_б = \frac{3}{2} \cdot a \cdot l
]
где ( l ) — апофема, которую мы уже знаем (8 см):
[
S_б = \frac{3}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 96 \text{ см}^2
]
Шаг 5: Нахождение площади основания
Площадь основания (равносторонний треугольник) вычисляется по формуле:
[
S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2
]
Подставляем значение ( a = 8 ):
[
S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Шаг 6: Общее решение
Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды:
[
S_{полн.} = S_б + S_0 = 96 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Ответ:
Полная площадь поверхности правильной треугольной пирамиды составляет ( 96 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2 ).
