Задача: В правильной треугольной пирамиде апофема равна 8см, апофема составляется с плоскостью основания угол в 60 градусов. Вычислить площадь полной поверхности пирамиды

Для решения задачи о площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды, начнем с определения необходимых параметров.

Шаг 1: Понимание термина "апофема"

Апофема пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания, проведенное перпендикулярно к основанию. В данном случае, апофема равна 8 см, и угол между апофемой и плоскостью основания равен 60 градусов.

Шаг 2: Находить высоту и боковую сторону

Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту пирамиды и длину стороны основания.

1. Найдем высоту (h) пирамиды:

   • В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, апофемой и половиной стороны основания (которая равна \( \frac{a}{2} \), где \( a \) — длина стороны основания), у нас есть: \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \] Мы знаем, что \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \). Подставляем это в уравнение: \[ \sqrt{3} = \frac{h}{\frac{a}{2}} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

2. Также используем косинус для нахождения стороны основания: \[ \cos(60^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{8} \] Так как \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{8} \implies \frac{a}{2} = 4 \implies a = 8 \text{ см} \]

Шаг 3: Находим высоту пирамиды

Теперь мы можем вычислить высоту \( h \): \[ h = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

Шаг 4: Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ S_б = \frac{3}{2} \cdot a \cdot l \] где \( l \) — апофема, которую мы уже знаем (8 см): \[ S_б = \frac{3}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 96 \text{ см}^2 \]

Шаг 5: Нахождение площади основания

Площадь основания (равносторонний треугольник) вычисляется по формуле: \[ S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \] Подставляем значение \( a = 8 \): \[ S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Шаг 6: Общее решение

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды: \[ S_{полн.} = S_б + S_0 = 96 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ:

Полная площадь поверхности правильной треугольной пирамиды составляет \( 96 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \).