Чтобы решить задачу, начнем с определения необходимых переменных и условий, описанных в задаче.
Дано:
- Длина листа жести (L = 12 , \text{дм})
- Ширина листа жести (W = 8 , \text{дм})
- Стороны вырезаемых квадратов обозначим как (x , \text{дм})
Шаг 1: Установление отношений и уравнения
После вырезания квадратов со всех углов, размеры основания коробки будут следующими:
- Длина основания коробки ( = L - 2x = 12 - 2x)
- Ширина основания коробки ( = W - 2x = 8 - 2x)
Согласно условию, ширина основания коробки в 3 раза меньше длины. Это можно записать как:
[
8 - 2x = \frac{1}{3}(12 - 2x)
]
Шаг 2: Упрощение уравнения
Теперь умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
[
3(8 - 2x) = 12 - 2x
]
Это упростится до:
[
24 - 6x = 12 - 2x
]
Теперь переносим все члены с (x) в одну сторону, а константы в другую:
[
24 - 12 = 6x - 2x
]
[
12 = 4x
]
Шаг 3: Решение уравнения
Теперь можем найти значение (x):
[
x = \frac{12}{4} = 3 , \text{дм}
]
Шаг 4: Проверка
Проверим, удовлетворяет ли значение (x) условию задачи:
- Длина основания коробки: (12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6 , \text{дм})
- Ширина основания коробки: (8 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2 , \text{дм})
- Проверяем отношение: (2 = \frac{1}{3} \cdot 6) (условие выполнено).
Шаг 5: Периметр вырезанной заготовки
Теперь найдем выражение для периметра вырезанной заготовки. Изначально у нас прямоугольник размером (12 , \text{дм} \times 8 , \text{дм}), а после вырезания квадратов у нас осталась "коробка".
Периметр вырезанной части:
- Изменения по длине: (2x) по каждой стороне
- Изменения по ширине: (2x) по каждой стороне
Поэтому периметр вырезанной заготовки будет:
[
P = 2 \cdot (12 + 8) - 4 \cdot x
]
Подставляем значение (x = 3):
[
P = 2 \cdot (12 + 8) - 4 \cdot 3 = 2 \cdot 20 - 12 = 40 - 12 = 28 , \text{дм}
]
Ответ
- Сторона вырезаемых квадратов (x = 3 , \text{дм}).
- Периметр вырезанной заготовки (P = 28 , \text{дм}).
