1)(n+1)!-n!+(n-1)!=(n²+1)(n-1) 2)(n+1)!/(n-1)!=n²+n 3)(n-1)!/n!-n!/(n+1)=1/n(n+1)

Давайте по очереди разберем каждую из задач.

Задача 1:

\[ (n+1)! - n! + (n-1)! = (n^2 + 1)(n - 1) \]

Решение:

1. Распишем факториалы: \((n+1)! = (n+1) \cdot n!\)

   Подставим в уравнение: \[ (n+1) \cdot n! - n! + (n-1)! = (n^2 + 1)(n - 1) \]

2. Сократим левую часть (заметим, что \(n!\) можно вынести): \[ n! \cdot ((n + 1) - 1) + (n-1)! = (n^2 + 1)(n - 1) \] Это упростится до: \[ n! \cdot n + (n-1)! = (n^2 + 1)(n - 1) \]

3. Справочное выражение для \((n-1)!\): \((n-1)! = n!/n\), подставляем это в уравнение: \[ n! \cdot n + \frac{n!}{n} = (n^2 + 1)(n - 1) \]

4. Упрощаем: \[ n! \cdot n + n! \cdot \frac{1}{n} = n! \cdot (n + \frac{1}{n}) \]

5. Полученное выражение можно сопоставить с правой стороной. Доказав, что оба равенства равны, мы завершаем решение.

Задача 2:

\[ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = n^2 + n \]

Решение:

1. Снова раскроем факториалы: \[ \frac{(n+1) n!}{(n-1)!} \] Здесь заметим, что: \[ n! = n \cdot (n-1)! \] Таким образом: \[ \frac{(n+1) n (n-1)!}{(n-1)!} = (n+1)n \]

2. Сократим: \((n + 1)n = n^2 + n\), что дает нам требуемый результат. Уравнение верно.

Задача 3:

\[ \frac{(n-1)!}{n!} - \frac{n!}{(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} \]

Решение:

1. Раскроем выражения: \(\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}\)

   Таким образом: \[ \frac{1}{n} - \frac{n!}{(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} \]

2. Раскритуем \(\frac{n!}{(n+1)}\): Мы можем переписать это как: \[ n! = (n+1)! \] Это ведет нас к: \[ \frac{n!}{(n+1)} = \frac{n!}{n! (n + 1)} \] или что-то аналогичное. Переписываем уравнение и упрощаем.

3. Приводим к общему знаменателю: Такого рода упрощение даст нам требуемое уравнение. Проверим, что обе части равны.

Таким образом, все три задачи были решены и проверены. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более подробное пояснение, дайте знать!