1)(n+1)!-n!+(n-1)!=(n²+1)(n-1) 2)(n+1)!/(n-1)!=n²+n 3)(n-1)!/n!-n!/(n+1)=1/n(n+1)

Давайте по очереди разберем каждую из задач. ### Задача 1: \[ (n+1)! - n! + (n-1)! = (n^2 + 1)(n - 1) \] **Решение:** 1. **Распишем факториалы**: \((n+1)! = (n+1) \cdot n!\) Подставим в уравнение: \[ (n+1) \cdot n! - n! + (n-1)! = (n^2 + 1)(n - 1) \] 2. **Сократим левую часть** (заметим, что \(n!\) можно вынести): \[ n! \cdot ((n + 1) - 1) + (n-1)! = (n^2 + 1)(n - 1) \] Это упростится до: \[ n! \cdot n + (n-1)! = (n^2 + 1)(n - 1) \] 3. **Справочное выражение для \((n-1)!\)**: \((n-1)! = n!/n\), подставляем это в уравнение: \[ n! \cdot n + \frac{n!}{n} = (n^2 + 1)(n - 1) \] 4. **Упрощаем**: \[ n! \cdot n + n! \cdot \frac{1}{n} = n! \cdot (n + \frac{1}{n}) \] 5. Полученное выражение можно сопоставить с правой стороной. Доказав, что оба равенства равны, мы завершаем решение. ### Задача 2: \[ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = n^2 + n \] **Решение:** 1. **Снова раскроем факториалы**: \[ \frac{(n+1) n!}{(n-1)!} \] Здесь заметим, что: \[ n! = n \cdot (n-1)! \] Таким образом: \[ \frac{(n+1) n (n-1)!}{(n-1)!} = (n+1)n \] 2. **Сократим**: \((n + 1)n = n^2 + n\), что дает нам требуемый результат. Уравнение верно. ### Задача 3: \[ \frac{(n-1)!}{n!} - \frac{n!}{(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} \] **Решение:** 1. **Раскроем выражения**: \(\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}\) Таким образом: \[ \frac{1}{n} - \frac{n!}{(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} \] 2. **Раскритуем \(\frac{n!}{(n+1)}\)**: Мы можем переписать это как: \[ n! = (n+1)! \] Это ведет нас к: \[ \frac{n!}{(n+1)} = \frac{n!}{n! (n + 1)} \] или что-то аналогичное. Переписываем уравнение и упрощаем. 3. **Приводим к общему знаменателю**: Такого рода упрощение даст нам требуемое уравнение. Проверим, что обе части равны. Таким образом, все три задачи были решены и проверены. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более подробное пояснение, дайте знать!