Сделай задания

Давайте разберём каждую из задач по порядку: ### 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку \( A(-2; 6) \) и середину отрезка \( MN \), где \( M(4; -3) \) и \( N(-2; 1) \). **Решение:** 1. **Найти середину отрезка \( MN \):** \[ x_c = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_c = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Середина отрезка \( MN \) — точка \( C(1, -1) \). 2. **Уравнение прямой через точки \( A(-2, 6) \) и \( C(1, -1) \):** Формула уравнения прямой по двум точкам: \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \] Подставляем координаты: \[ y - 6 = \frac{-1 - 6}{1 - (-2)}(x + 2) \] \[ y - 6 = \frac{-7}{3}(x + 2) \] \[ y - 6 = -\frac{7}{3}x - \frac{14}{3} \] \[ y = -\frac{7}{3}x - \frac{14}{3} + \frac{18}{3} \] \[ y = -\frac{7}{3}x + \frac{4}{3} \] ### 2. Вычислить пределы: (a) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 5x + 6}\) **Решение:** 1. **Попробуем напрямую подставить:** \[ \frac{3^2 - 3 \cdot 3 + 2}{3^2 - 5 \cdot 3 + 6} = \frac{9 - 9 + 2}{9 - 15 + 6} = \frac{2}{0} \] Прямая подстановка даёт неопределённость, нужна дополнительная работа. 2. **Разложим на множители:** \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \] \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] 3. **Сократим дробь:** \[ \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{x - 1}{x - 3} \] 4. **Теперь найдём предел:** \[ \lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{3 - 1}{3 - 3} = \frac{2}{0} \] Предел не существует при \(x \to 3\). (b) \(\lim_{x \to 0} \frac{5x^2}{\sin 4x}\) **Решение:** Используем стандартный предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\). \[ \lim_{x \to 0} \frac{5x^2}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x^2}{4x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} = \frac{5}{4} \cdot 1 = 0 \] ### 3. Найти интегралы: (a) \(\int (3x^2 + 2x + 6) \, dx\) **Решение:** \[ \int (3x^2 + 2x + 6) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 6 \, dx \] \[ = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 6x + C \] \[ = x^3 + x^2 + 6x + C \] (b) \(\int \frac{dx}{x^2 + 1}\) **Решение:** Это стандартный интеграл: \[ \int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan x + C \] ### 4. Исследовать функцию и построить график: \( y = 2x^3 \) **Решение:** 1. **Нули функции:** \[ 2x^3 = 0 \implies x = 0 \] 2. **Производная:** \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2 \] 3. **Экстремумы:** \[ 6x^2 = 0 \implies x = 0 \] 4. **Исследование на возрастание/убывание:** - \( y' > 0 \) при \( x \neq 0 \Rightarrow \) функция возрастает 5. **Вторичная производная:** \[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2) = 12x \] 6. **Выпуклость:** - \( y'' > 0 \) при \( x > 0 \Rightarrow \) функция вогнута - \( y'' < 0 \) при \( x < 0 \Rightarrow \) функция выпукла 7. **График:** Это кубическая парабола с точкой перегиба в начале координат. ### 5. Выполнить действия с комплексными числами в тригонометрической форме: Комплексные числа в тригонометрической форме имеют вид \( z = r(\cos \theta + i\sin \theta) \), где \( r \) — модуль, а \(\theta\) — аргумент. **Задание** не конкретизировано, поэтому здесь подробный пример работы с такими числами может быть предоставлен по запросу уточнений.