реши неравенство (20х^2-32х^2+3)/(3х^2 +7х+2) ≤0
Чтобы решить неравенство \(\frac{20x^2 - 32x^2 + 3}{3x^2 + 7x + 2} \leq 0\), давайте сначала упростим его.
Упрощение числителя: \[ 20x^2 - 32x^2 + 3 = -12x^2 + 3 \] Таким образом, неравенство можно переписать как: \[ \frac{-12x^2 + 3}{3x^2 + 7x + 2} \leq 0 \] Мы можем факторизовать числитель: \[ -12x^2 + 3 = -3(4x^2 - 1) = -3(2x - 1)(2x + 1) \]
Факторизация знаменателя: Теперь разложим знаменатель \(3x^2 + 7x + 2\): Для этого найдем такие числа, которые в сумме дают 7, а в произведении 6 (3 * 2): чисел 6 и 1. Таким образом, можем переписать: \[ 3x^2 + 6x + x + 2 = 3x(x + 2) + 1(x + 2) = (3x + 1)(x + 2) \] Теперь стало понятно, что знак большой дроби будет зависеть от знаков числителя и знаменателя.
Переписываем неравенство: Мы получили: \[ \frac{-3(2x - 1)(2x + 1)}{(3x + 1)(x + 2)} \leq 0 \] Знак дроби изменится на противоположный, если мы умножим знаменатель на \(-1\), но сохраняем неравенство (при условии, что дробь не равна нулю).
Определяем корни:
- Numerator: \(-3(2x - 1)(2x + 1) = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}; \quad 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\)
- Denominator: \((3x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow 3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}; \quad x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
Таким образом, критическими точками являются: \(-2\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{3}\), и \(\frac{1}{2}\).
Построение интервалов: У нас теперь есть точки, на которых дробь равна нулю или неопределена. Мы можем разбить числовую прямую на интервалы: \[ (-\infty, -2), \quad (-2, -\frac{1}{2}), \quad (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}), \quad (-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}), \quad (\frac{1}{2}, \infty) \]
Определение знаков на интервалах: Теперь проверим знаки в каждом из интервалов:
На интервале \((- \infty, -2)\): Подставим, к примеру, \(x = -3\): \(\frac{-3(-6)(-5)}{(-9)(-1)} > 0.\)
На интервале \((-2, -\frac{1}{2})\): Подставим, например, \(x = -1\): \(\frac{-3(-3)(-1)}{(-2)(1)} < 0.\)
На интервале \((- \frac{1}{2}, -\frac{1}{3})\): Подставим, например, \(x = -0.4\): \(\frac{-3(-1)(0.4)}{(-0.7)(1.6)} > 0.\)
На интервале \((- \frac{1}{3}, \frac{1}{2})\): Подставим, например, \(x = 0\): \(\frac{-3(1)(-1)}{(1)(2)} < 0.\)
На интервале \((\frac{1}{2}, +\infty)\): Подставим, например, \(x = 1\): \(\frac{-3(1)(3)}{(4)(3)} < 0.\)
Собираем все результаты: Итак, наш знак меняется на:
- \(+\) на \((- \infty, -2)\)
- \(-\) на \((-2, -\frac{1}{2})\)
- \(+\) на \((- \frac{1}{2}, -\frac{1}{3})\)
- \(-\) на \((- \frac{1}{3}, \frac{1}{2})\)
- \(-\) на \((\frac{1}{2}, +\infty)\)
Записываем решение неравенства: Неравенство должно быть \(\leq 0\), поэтому: \[ x \in [-2, -\frac{1}{2}] \cup [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] \]
Таким образом, окончательное решение неравенства: \[ x \in [-2, -\frac{1}{2}] \cup [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] \]
