решите неравенство x^2-3x-4≤0
Решим неравенство \(x^2 - 3x - 4 \leq 0\) шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения
Сначала мы найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\). Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где:
- \(a = 1\)
- \(b = -3\)
- \(c = -4\)
Подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \]
Считаем дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Теперь подставляем дискриминант обратно в формулу:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Теперь найдем два корня:
- \(x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
- \(x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
Таким образом, мы получили два корня: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\).
Шаг 2: Определим промежутки
Теперь определим, на каких интервалах функция \(f(x) = x^2 - 3x - 4\) меньше или равна нулю. Корни делят числовую ось на три промежутка:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( [-1, 4] \)
- \( (4, +\infty) \)
Шаг 3: Проведем тестирование знаков
Теперь проверим знак функции \(f(x)\) на каждом из промежутков:
Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \[ f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (\text{положительно}) \]
Для \(-1 < x < 4\) (например, \(x = 0\)): \[ f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \[ f(5) = 5^2 - 3 \cdot 5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (\text{положительно}) \]
Шаг 4: Запишем ответ
Функция \(f(x)\) меньше либо равна нулю на промежутке \([-1, 4]\). Мы включаем концы интервала, так как неравенство включает равенство (≤).
Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 3x - 4 \leq 0\) будет:
\[ \boxed{[-1, 4]} \]
Это означает, что для значений \(x\) от \(-1\) до \(4\) (включительно) неравенство выполняется.
