Решите неравенство x^2-3x-4≤0

Решим неравенство \(x^2 - 3x - 4 \leq 0\) шаг за шагом. ### Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения Сначала мы найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\). Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где: - \(a = 1\) - \(b = -3\) - \(c = -4\) Подставим значения в формулу: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] Считаем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] Теперь подставляем дискриминант обратно в формулу: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Теперь найдем два корня: 1. \(x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\) 2. \(x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) Таким образом, мы получили два корня: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\). ### Шаг 2: Определим промежутки Теперь определим, на каких интервалах функция \(f(x) = x^2 - 3x - 4\) меньше или равна нулю. Корни делят числовую ось на три промежутка: 1. \( (-\infty, -1) \) 2. \( [-1, 4] \) 3. \( (4, +\infty) \) ### Шаг 3: Проведем тестирование знаков Теперь проверим знак функции \(f(x)\) на каждом из промежутков: 1. Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \[ f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (\text{положительно}) \] 2. Для \(-1 < x < 4\) (например, \(x = 0\)): \[ f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}) \] 3. Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \[ f(5) = 5^2 - 3 \cdot 5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (\text{положительно}) \] ### Шаг 4: Запишем ответ Функция \(f(x)\) меньше либо равна нулю на промежутке \([-1, 4]\). Мы включаем концы интервала, так как неравенство включает равенство (≤). Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 3x - 4 \leq 0\) будет: \[ \boxed{[-1, 4]} \] Это означает, что для значений \(x\) от \(-1\) до \(4\) (включительно) неравенство выполняется.