решите неравенство x^2-3x-4≥0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 3x - 4 \geq 0 \), начнем с того, чтобы решить соответствующее квадратное уравнение \( x^2 - 3x - 4 = 0 \). Это поможет нам найти границы неравенства.
Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения
Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -4 \).
Теперь подставим значения: \[ b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Теперь найдем корни: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]
Шаг 2: Определим интервалы
Теперь мы знаем, что корни уравнения находятся в точках \( x = -1 \) и \( x = 4 \). Эти корни делят числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( [-1, 4] \)
- \( (4, +\infty) \)
Шаг 3: Проверим знак на каждом интервале
Теперь нужно определить знак выражения \( x^2 - 3x - 4 \) на каждом из этих интервалов.
На интервале \( (-\infty, -1) \): Выберем тестовую точку, например, \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 \quad (\text{положительно}) \]
На интервале \( [-1, 4] \): Выберем тестовую точку, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 3 \cdot 0 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}) \]
На интервале \( (4, +\infty) \): Выберем тестовую точку, например, \( x = 5 \): \[ 5^2 - 3 \cdot 5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 \quad (\text{положительно}) \]
Шаг 4: Составим заключение
Теперь мы знаем, что:
- На интервале \( (-\infty, -1) \) — выражение положительное.
- На интервале \( [-1, 4] \) — выражение отрицательное.
- На интервале \( (4, +\infty) \) — выражение положительное.
Неравенство \( x^2 - 3x - 4 \geq 0 \) выполняется, когда:
- \( x \) находится в интервале \( (-\infty, -1] \) и \( [4, +\infty) \).
Ответ
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [4, +\infty) \]
Это означает, что \( x \) может принимать любые значения, которые лежат в этих интервалах.
