Два одинаковых шарика массой т = 10 г и радиуса r= 1 см подвешены в вакууме в одной точке на длинных непроводящих ни- тях длиной /=39 см. После того, как шарикам сообщили…

Давайте разберем задачу, шаг за шагом. Мы имеем два шарика, которые подвешены на нитях и заряжены одинаковыми по величине и знаку электрическими зарядами. Из-за этого заряда шарики отталкиваются друг от друга, и нам нужно найти величину заряда, который они получили.

Данные

• Масса шариков, \( m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг} \)
• Радиус шариков, \( r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м} \) (но радиус напрямую не нужен в расчётах)
• Длина нити, \( L = 39 \text{ см} = 0.39 \text{ м} \)
• Угол расхождения нити, \( \alpha = 20^\circ \)

Шаг 1: Найдем горизонтальное расстояние между шариками

Когда шарики отталкиваются, они образуют равнобедренный треугольник с нитями. Мы можем найти горизонтальное расстояние между шариками, используя тригонометрию.

Пусть \( d \) — горизонтальное расстояние между шариками. С каждой стороны треугольника образуется угол \(\alpha/2 = 10^\circ\).

Используем синус для нахождения длины основания треугольника:

\[ L_{horizontal} = L \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 0.39 \cdot \sin(10^\circ) \]

Вычислим:

\[ L_{horizontal} = 0.39 \cdot 0.1736 \approx 0.0677 \text{ м} \]

Так как у нас два таких расстояния (по обе стороны), полного расстояния между шариками:

\[ d = 2 \cdot L_{horizontal} = 2 \cdot 0.0677 \approx 0.1354 \text{ м} \]

Шаг 2: Силы, действующие на шарики

На каждый шарик действуют:

1. Сила тяжести: \( F_g = mg \)
2. Сила натяжения нити: \( T \)
3. Сила электрического отталкивания: \( F_e \)

Формула для силы тяжести:

\[ F_g = mg = 0.01 \cdot 9.81 \approx 0.0981 \text{ Н} \]

Шаг 3: Разложим силы на компоненты

Силу натяжения \( T \) можно разложить на вертикальную и горизонтальную компоненты:

• Вертикальная компонента: \( T \cdot \cos(\alpha / 2) \)
• Горизонтальная компонента: \( T \cdot \sin(\alpha / 2) \)

На шарик действуют силы следующим образом:

Для вертикального равновесия:

\[ T \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = mg \]

Для горизонтального равновесия:

\[ F_e = T \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

Шаг 4: Запишем силу отталкивания

Сила отталкивания между двумя заряженными телами (по закону Кулона):

\[ F_e = k \cdot \frac{q^2}{d^2} \]

где:

• \( k \approx 8.99 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \) — электростатическая постоянная.

Шаг 5: Составим систему уравнений

Подставим выражения для \( T \) в уравнения равновесия.

1. Из уравнения для вертикального равновесия:

\[ T = \frac{mg}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \]

2. Подставим это в уравнение для горизонтального равновесия:

\[ k \cdot \frac{q^2}{d^2} = \frac{mg}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

Шаг 6: Подставим известные значения и решим

Подставляем \( m = 0.01 \), \( g = 9.81 \), \( d \approx 0.1354 \), и \(\alpha = 20^\circ\) (где \(\cos(10^\circ) \approx 0.9848\) и \(\sin(10^\circ) \approx 0.1736\)):

\[ 8.99 \cdot 10^9 \cdot \frac{q^2}{(0.1354)^2} = \frac{(0.01)(9.81)}{0.9848} \cdot 0.1736 \]

Вычисляем правую часть:

\[ \frac{0.0981}{0.9848} \cdot 0.1736 \approx 0.0173 \text{ Н} \]

Итак, подставляем в уравнение:

\[ 8.99 \cdot 10^9 \cdot \frac{q^2}{0.0183} = 0.0173 \]

Теперь решаем уравнение относительно \( q^2 \):

\[ q^2 \approx \frac{0.0173 \cdot 0.0183}{8.99 \cdot 10^9} \]

Решим это уравнение:

\[ q^2 \approx \frac{0.00031659}{8.99 \cdot 10^9} \approx 3.52 \cdot 10^{-14} \]

Наконец, найдём \( q \):

\[ q \approx \sqrt{3.52 \cdot 10^{-14}} \approx 5.93 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} \]

Ответ

Каждый шарик имеет заряд приблизительно \( q \approx 5.93 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} \).