Найди скалярное произведение векторов m-n и 2m+n, если длина векторов m=4√2, n=3, mn=135°

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} - \mathbf{n} \) и \( 2\mathbf{m} + \mathbf{n} \), нам понадобятся некоторые свойства скалярного произведения и данные о векторах.

Шаг 1: Напомним формулу скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) можно вычислить по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]

где \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними.

Шаг 2: Найдем длины векторов и угол между ними

Дано:

• Длина вектора \( \mathbf{m} = 4\sqrt{2} \)
• Длина вектора \( \mathbf{n} = 3 \)
• Угол между векторами \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} = 135^\circ \)

Шаг 3: Вычислим длину вектора \( \mathbf{m} - \mathbf{n} \)

Длина вектора \( \mathbf{m} - \mathbf{n} \) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{m} - \mathbf{n}| = \sqrt{|\mathbf{m}|^2 + |\mathbf{n}|^2 - 2 |\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos(135^\circ)} \]

Мы знаем \( \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \).

Подставим значения: \[ |\mathbf{m}|^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32,\quad |\mathbf{n}|^2 = 3^2 = 9 \] \[ |\mathbf{m} - \mathbf{n}| = \sqrt{32 + 9 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} \]

Теперь упростим: \[ = \sqrt{32 + 9 + 12 \cdot 4} = \sqrt{32 + 9 + 48} = \sqrt{89} \]

Шаг 4: Вычислим длину вектора \( 2\mathbf{m} + \mathbf{n} \)

Аналогично: \[ |2\mathbf{m} + \mathbf{n}| = \sqrt{|2\mathbf{m}|^2 + |\mathbf{n}|^2 + 2 |2\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos(180^\circ - 135^\circ)} \]

Здесь \( \cos(180^\circ - 135^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Вычислим: \[ |2\mathbf{m}| = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \] \[ |2\mathbf{m}|^2 = (8\sqrt{2})^2 = 128,\quad |\mathbf{n}|^2 = 9 \] \[ |2\mathbf{m} + \mathbf{n}| = \sqrt{128 + 9 + 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} \] \[ = \sqrt{128 + 9 + 24} = \sqrt{161} \]

Шаг 5: Вычислим угол между векторами \( \mathbf{m} - \mathbf{n} \) и \( 2\mathbf{m} + \mathbf{n} \)

Угол между векторами можно определить по предыдущим вычислениям. Но сначала найдем их скалярное произведение: \[ (\mathbf{m} - \mathbf{n}) \cdot (2\mathbf{m} + \mathbf{n}) = \mathbf{m} \cdot 2\mathbf{m} + \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - \mathbf{n} \cdot 2\mathbf{m} - \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} \]

Распишем скалярные произведения, используя известные значения:

• \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{m} = |\mathbf{m}|^2 = 32 \)
• \( \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{n}|^2 = 9 \)
• \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos(135^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -12 \)

Теперь подставляем: \[ = 2 \cdot 32 + (-12) - (-12) - 9 = 64 - 12 + 12 - 9 = 55 \]

Шаг 6: Находим окончательный результат

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} - \mathbf{n} \) и \( 2\mathbf{m} + \mathbf{n} \) равно: \[ \boxed{55} \]

Это значение и есть искомое скалярное произведение двух векторов.