в треугольнике ABC угол c равен 90°, cosb = 5/6 AB = 18 найдите BC
Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы было понятно, как найти длину стороны BC в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, а также известно, что \( \cos B = \frac{5}{6} \) и \( AB = 18 \).
Шаг 1: Определение элементов треугольника
В треугольнике ABC:
- \( C \) — угол 90°, значит треугольник прямоугольный.
- В соответствии с обозначениями, \( AB \) — это гипотенуза, а \( BC \) и \( AC \) — катеты.
Шаг 2: Используем определение косинуса
Косинус угла B в треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета (в данном случае \( AC \)) к длине гипотенузы (в данном случае \( AB \)):
\[ \cos B = \frac{AC}{AB} \]
Шаг 3: Подставляем известные значения
Мы знаем, что \( \cos B = \frac{5}{6} \) и \( AB = 18 \). Подставим эти значения в формулу:
\[ \frac{AC}{18} = \frac{5}{6} \]
Шаг 4: Находим длину \( AC \)
Теперь решим уравнение для \( AC \):
\[ AC = 18 \cdot \frac{5}{6} \]
Выполним умножение:
\[ AC = 3 \cdot 5 = 15 \]
Теперь мы знаем, что длина катета \( AC = 15 \).
Шаг 5: Применим теорему Пифагора
Теперь, чтобы найти \( BC \), воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 18^2 = 15^2 + BC^2 \]
Посчитаем квадраты:
\[ 324 = 225 + BC^2 \]
Шаг 6: Решим уравнение для \( BC^2 \)
Переносим 225 на другую сторону уравнения:
\[ BC^2 = 324 - 225 \] \[ BC^2 = 99 \]
Теперь находим \( BC \):
\[ BC = \sqrt{99} \]
Шаг 7: Упрощение корня
Корень из 99 можно упростить:
\[ BC = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11} \]
Ответ
Длина стороны \( BC \) равна \( 3\sqrt{11} \).
Таким образом, мы подробно рассмотрели решение задачи и получили ответ. Если есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, не стесняйтесь спрашивать!
