10/х2-4 - 3/2х-4 = 1/2
Решим уравнение:
\[ \frac{10}{x^2 - 4} - \frac{3}{2x - 4} = \frac{1}{2} \]
Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю
Сначала найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Знаменатель первого выражения \(x^2 - 4\) можно разложить на множители:
\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]
Знаменатель второго выражения можно упростить:
\[ 2x - 4 = 2(x - 2) \]
Теперь обозначим общий знаменатель. Он будет:
\[ (x - 2)(x + 2) \cdot 2 \]
Шаг 2: Переписывание уравнения
Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем:
\[ \frac{10 \cdot 2}{(x - 2)(x + 2) \cdot 2} - \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2) \cdot 2} = \frac{1}{2} \]
Шаг 3: Умножение уравнения на общий знаменатель
Теперь умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель \((x - 2)(x + 2) \cdot 2\):
\[ 10 \cdot 2 - 3(x + 2) = (x - 2)(x + 2) \]
Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение
Раскроем скобки:
Левая часть:
\[ 20 - 3(x + 2) = 20 - 3x - 6 = 14 - 3x \]
Правая часть:
\[ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 \]
Таким образом, можем записать уравнение:
\[ 14 - 3x = x^2 - 4 \]
Шаг 5: Перенос всех членов в одну сторону
Переносим все с одной стороны:
\[ 0 = x^2 + 3x - 18 \]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 3x - 18 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \]
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два решения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 9}{2} \]
Шаг 7: Находим корни
Теперь найдем два корня:
- \(x_1 = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
- \(x_2 = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)
Шаг 8: Проверка корней в исходном уравнении
Проверяем, не приводят ли корни к делению на ноль:
- Для \(x = 3\) → \(x^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5\) (не равен нулю)
- Для \(x = -6\) → \(x^2 - 4 = (-6)^2 - 4 = 36 - 4 = 32\) (не равен нулю)
Таким образом, оба корня допустимы.
Ответ
Корни уравнения:
\[ x_1 = 3; \quad x_2 = -6 \]
Если у тебя возникли вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйся задавать!
