10/х2-4 - 3/2х-4 = 1/2

Решим уравнение: \[ \frac{10}{x^2 - 4} - \frac{3}{2x - 4} = \frac{1}{2} \] ### Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю Сначала найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Знаменатель первого выражения \(x^2 - 4\) можно разложить на множители: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Знаменатель второго выражения можно упростить: \[ 2x - 4 = 2(x - 2) \] Теперь обозначим общий знаменатель. Он будет: \[ (x - 2)(x + 2) \cdot 2 \] ### Шаг 2: Переписывание уравнения Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем: \[ \frac{10 \cdot 2}{(x - 2)(x + 2) \cdot 2} - \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2) \cdot 2} = \frac{1}{2} \] ### Шаг 3: Умножение уравнения на общий знаменатель Теперь умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель \((x - 2)(x + 2) \cdot 2\): \[ 10 \cdot 2 - 3(x + 2) = (x - 2)(x + 2) \] ### Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение Раскроем скобки: Левая часть: \[ 20 - 3(x + 2) = 20 - 3x - 6 = 14 - 3x \] Правая часть: \[ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 \] Таким образом, можем записать уравнение: \[ 14 - 3x = x^2 - 4 \] ### Шаг 5: Перенос всех членов в одну сторону Переносим все с одной стороны: \[ 0 = x^2 + 3x - 18 \] ### Шаг 6: Решение квадратного уравнения Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 3x - 18 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \] Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два решения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 9}{2} \] ### Шаг 7: Находим корни Теперь найдем два корня: 1. \(x_1 = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\) 2. \(x_2 = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6\) ### Шаг 8: Проверка корней в исходном уравнении Проверяем, не приводят ли корни к делению на ноль: - Для \(x = 3\) → \(x^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5\) (не равен нулю) - Для \(x = -6\) → \(x^2 - 4 = (-6)^2 - 4 = 36 - 4 = 32\) (не равен нулю) Таким образом, оба корня допустимы. ### Ответ Корни уравнения: \[ x_1 = 3; \quad x_2 = -6 \] Если у тебя возникли вопросы по какому-либо из шагов, не стесняйся задавать!