действия комплексных чисел z_1=12+5i z_2=3-4i

Давайте решим задачу, связанную с действиями над комплексными числами. У нас есть два комплексных числа:

\[ z_1 = 12 + 5i \] \[ z_2 = 3 - 4i \]

Мы можем выполнить несколько операций с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Давайте рассмотрим каждую из них по порядку для получения понимания.

1. Сложение комплексных чисел

Чтобы сложить два комплексных числа, просто складываем их вещественные части и мнимые части по отдельности.

\[ z_1 + z_2 = (12 + 5i) + (3 - 4i) \]

Сложим вещественные части:

\[ 12 + 3 = 15 \]

Теперь сложим мнимые части:

\[ 5i - 4i = 1i \]

Таким образом, результат сложения:

\[ z_1 + z_2 = 15 + 1i \]

2. Вычитание комплексных чисел

Для вычитания также складываем вещественные и мнимые части:

\[ z_1 - z_2 = (12 + 5i) - (3 - 4i) \]

Вещественные части:

\[ 12 - 3 = 9 \]

Мнимые части:

\[ 5i + 4i = 9i \]

Результат вычитания:

\[ z_1 - z_2 = 9 + 9i \]

3. Умножение комплексных чисел

Чтобы умножить два комплексных числа, используем формулу распределения (аналогично умножению многочленов):

\[ z_1 \cdot z_2 = (12 + 5i)(3 - 4i) \]

Распределим каждое число:

\[ = 12 \cdot 3 + 12 \cdot (-4i) + 5i \cdot 3 + 5i \cdot (-4i) \]

Посчитаем каждый член:

• \( 12 \cdot 3 = 36 \)
• \( 12 \cdot (-4i) = -48i \)
• \( 5i \cdot 3 = 15i \)
• \( 5i \cdot (-4i) = -20i^2 \) (заметьте, что \( i^2 = -1 \), значит \( -20i^2 = 20 \))

Теперь сложим все вместе:

\[ = 36 - 48i + 15i + 20 \]

Сначала сложим вещественные части:

\[ 36 + 20 = 56 \]

Теперь сложим мнимые части:

\[ -48i + 15i = -33i \]

Результат умножения:

\[ z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \]

4. Деление комплексных чисел

Чтобы разделить два комплексных числа, умножим на сопряженное число. Сопряженное число \( z_2 = 3 - 4i \) будет \( z_2^* = 3 + 4i \).

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + 5i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} \]

Сначала умножим числитель:

\[ (12 + 5i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 5i \cdot 3 + 5i \cdot 4i \]

Посчитаем:

\[ = 36 + 48i + 15i + 20i^2 = 36 + 63i - 20 = 16 + 63i \]

Теперь умножим знаменатель:

\[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 12i - 12i - 16 = 9 + 16 = 25 \]

Теперь получаем:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{16 + 63i}{25} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \]

Подведем итоги:

• Сложение: \( z_1 + z_2 = 15 + i \)
• Вычитание: \( z_1 - z_2 = 9 + 9i \)
• Умножение: \( z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \)
• Деление: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \)

Если у вас остались вопросы по каждому из шагов или требуется дополнительная информация, пожалуйста, дайте знать!