Действия комплексных чисел z_1=12+5i z_2=3-4i

Давайте решим задачу, связанную с действиями над комплексными числами. У нас есть два комплексных числа: \[ z_1 = 12 + 5i \] \[ z_2 = 3 - 4i \] Мы можем выполнить несколько операций с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Давайте рассмотрим каждую из них по порядку для получения понимания. ### 1. Сложение комплексных чисел Чтобы сложить два комплексных числа, просто складываем их вещественные части и мнимые части по отдельности. \[ z_1 + z_2 = (12 + 5i) + (3 - 4i) \] Сложим вещественные части: \[ 12 + 3 = 15 \] Теперь сложим мнимые части: \[ 5i - 4i = 1i \] Таким образом, результат сложения: \[ z_1 + z_2 = 15 + 1i \] ### 2. Вычитание комплексных чисел Для вычитания также складываем вещественные и мнимые части: \[ z_1 - z_2 = (12 + 5i) - (3 - 4i) \] Вещественные части: \[ 12 - 3 = 9 \] Мнимые части: \[ 5i + 4i = 9i \] Результат вычитания: \[ z_1 - z_2 = 9 + 9i \] ### 3. Умножение комплексных чисел Чтобы умножить два комплексных числа, используем формулу распределения (аналогично умножению многочленов): \[ z_1 \cdot z_2 = (12 + 5i)(3 - 4i) \] Распределим каждое число: \[ = 12 \cdot 3 + 12 \cdot (-4i) + 5i \cdot 3 + 5i \cdot (-4i) \] Посчитаем каждый член: - \( 12 \cdot 3 = 36 \) - \( 12 \cdot (-4i) = -48i \) - \( 5i \cdot 3 = 15i \) - \( 5i \cdot (-4i) = -20i^2 \) (заметьте, что \( i^2 = -1 \), значит \( -20i^2 = 20 \)) Теперь сложим все вместе: \[ = 36 - 48i + 15i + 20 \] Сначала сложим вещественные части: \[ 36 + 20 = 56 \] Теперь сложим мнимые части: \[ -48i + 15i = -33i \] Результат умножения: \[ z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \] ### 4. Деление комплексных чисел Чтобы разделить два комплексных числа, умножим на сопряженное число. Сопряженное число \( z_2 = 3 - 4i \) будет \( z_2^* = 3 + 4i \). \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{12 + 5i}{3 - 4i} \cdot \frac{3 + 4i}{3 + 4i} \] Сначала умножим числитель: \[ (12 + 5i)(3 + 4i) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 4i + 5i \cdot 3 + 5i \cdot 4i \] Посчитаем: \[ = 36 + 48i + 15i + 20i^2 = 36 + 63i - 20 = 16 + 63i \] Теперь умножим знаменатель: \[ (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 12i - 12i - 16 = 9 + 16 = 25 \] Теперь получаем: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{16 + 63i}{25} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \] ### Подведем итоги: - Сложение: \( z_1 + z_2 = 15 + i \) - Вычитание: \( z_1 - z_2 = 9 + 9i \) - Умножение: \( z_1 \cdot z_2 = 56 - 33i \) - Деление: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{16}{25} + \frac{63}{25}i \) Если у вас остались вопросы по каждому из шагов или требуется дополнительная информация, пожалуйста, дайте знать!