Реши

Чтобы найти производную функции \( y = x \cdot e^x \), можно использовать правило произведения. Это правило звучит так: если у нас есть функция \( y = u \cdot v \), где \( u \) и \( v \) — функции от \( x \), то производная \( y' \) равна:

\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

В данном случае, \( u = x \) и \( v = e^x \).

Теперь найдем необходимые производные:

1. \( u' = (x)' = 1 \)
2. \( v' = (e^x)' = e^x \) (поскольку производная экспоненты \( e^x \) равна самой себе).

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ y' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + x \cdot e^x \]

Мы можем упростить это выражение, вынеся \( e^x \) за скобку:

\[ y' = e^x (1 + x) \]

Таким образом, производная функции \( y = x \cdot e^x \) равна \( e^x (1 + x) \).

На основании приведенного решения, правильный ответ - \( e^x \cdot (x + 1) \) (или эквивалентно \( e^x \cdot (1 + x) \)).