Расстояние в 800 км скорый поезд прошёл на 2 часа быстрее товарного. Найти скорость товарного поезда, если она на 20км/ч меньше скорости скорого поезда
Для решения этой задачи введем переменные и используем формулы.
Обозначим переменные:
- Пусть скорость скорого поезда равна \( v \) км/ч.
- Тогда скорость товарного поезда будет \( v - 20 \) км/ч, так как она на 20 км/ч меньше.
Узнаем время в пути:
- Для скорого поезда время в пути можно найти по формуле: \[ t_{скорый} = \frac{S}{v} = \frac{800}{v} \]
- Для товарного поезда время в пути: \[ t_{товарный} = \frac{S}{v - 20} = \frac{800}{v - 20} \]
Запишем условие задачи: Согласно условию, скорый поезд прошёл расстояние на 2 часа быстрее товарного. Это можно записать в виде уравнения: \[ t_{товарный} - t_{скорый} = 2 \]
Подставим выражения для времени: Заменим \( t_{скорый} \) и \( t_{товарный} \) в нашем уравнении: \[ \frac{800}{v - 20} - \frac{800}{v} = 2 \]
Решим уравнение: Умножим обе стороны на \( v(v - 20) \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 800v - 800(v - 20) = 2v(v - 20) \] Упростим: \[ 800v - 800v + 16000 = 2v^2 - 40v \] \[ 16000 = 2v^2 - 40v \] Переносим все в одну сторону: \[ 2v^2 - 40v - 16000 = 0 \] Делим всё на 2: \[ v^2 - 20v - 8000 = 0 \]
Находим корни уравнения: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400 \] \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{32400}}{2} \] Найдем \( \sqrt{32400} = 180 \): \[ v = \frac{20 \pm 180}{2} \] Получаем два возможных значения: \[ v_1 = \frac{200}{2} = 100 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{-160}{2} = -80 \] Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 100 \) км/ч.
Находим скорость товарного поезда: Теперь подставим найденное значение \( v \): \[ v_{товарного} = v - 20 = 100 - 20 = 80 \text{ км/ч} \]
Ответ: Скорость товарного поезда составляет 80 км/ч.
Таким образом, мы пришли к ответу, следуя всем шагам и логически решая задачу.
