Стрелок 5 раз стреляет в мишень. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно три раза.
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для биномиального распределения, так как вероятность попадания в мишень при каждом выстреле постоянна, и результаты являются независимыми.
Дано:
- Вероятность попадания в мишень при одном выстреле (\(p\)): 0,8
- Вероятность промаха (\(q\)): \(1 - p = 1 - 0,8 = 0,2\)
- Число выстрелов (\(n\)): 5
- Число попаданий, которое нас интересует (\(k\)): 3
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что из \(n\) независимых испытаний произойдёт ровно \(k\) успехов, можно вычислить по формуле:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Шаги решения:
- Вычисляем биномиальный коэффициент \(\binom{5}{3}\):
\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \]
Вычислим факториалы:
- \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)
- \(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)
- \(2! = 2 \cdot 1 = 2\)
Теперь подставим:
\[ \binom{5}{3} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
- Вычисляем вероятность попадания ровно 3 раза:
Теперь подставим найденные значения в формулу:
\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot p^3 \cdot q^{5-3} \] \[ = 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^2 \]
Вычислим \(p^3\) и \(q^2\):
\[ (0,8)^3 = 0,512 \quad \text{и} \quad (0,2)^2 = 0,04 \]
Теперь подставим эти значения:
\[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 \]
- Умножим значения:
\[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 = 10 \cdot 0,02048 = 0,2048 \]
Ответ:
Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно три раза, составляет 0,2048, или 20,48%.
