Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для биномиального распределения, так как вероятность попадания в мишень при каждом выстреле постоянна, и результаты являются независимыми.
Дано:
- Вероятность попадания в мишень при одном выстреле ((p)): 0,8
- Вероятность промаха ((q)): (1 - p = 1 - 0,8 = 0,2)
- Число выстрелов ((n)): 5
- Число попаданий, которое нас интересует ((k)): 3
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что из (n) независимых испытаний произойдёт ровно (k) успехов, можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где (\binom{n}{k}) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаги решения:
- Вычисляем биномиальный коэффициент (\binom{5}{3}):
[
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}
]
Вычислим факториалы:
- (5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120)
- (3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6)
- (2! = 2 \cdot 1 = 2)
Теперь подставим:
[
\binom{5}{3} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10
]
- Вычисляем вероятность попадания ровно 3 раза:
Теперь подставим найденные значения в формулу:
[
P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot p^3 \cdot q^{5-3}
]
[
= 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^2
]
Вычислим (p^3) и (q^2):
[
(0,8)^3 = 0,512 \quad \text{и} \quad (0,2)^2 = 0,04
]
Теперь подставим эти значения:
[
P(X = 3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04
]
- Умножим значения:
[
P(X = 3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 = 10 \cdot 0,02048 = 0,2048
]
Ответ:
Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно три раза, составляет 0,2048, или 20,48%.
