Отобрать корни на отрезке [10π; 23π/2] из серий решений x=3π/4+πk; x=πk, k∈Z

Давайте решим задачу по нахождению корней на отрезке \([10\pi; \frac{23\pi}{2}]\) из данных уравнений: 1. \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\) 2. \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\) ### Поиск корней **Первое уравнение: \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi k\)** Для нахождения корней данного уравнения, подставим различные значения \(k\) и проверим, попадают ли они в указанный отрезок. - **Для \(k = 0\)**: \[ x_0 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 0 = \frac{3\pi}{4} \] Значение \(x_0\) меньше \(10\pi\), не подходит. - **Для \(k = 1\)**: \[ x_1 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 1 = \frac{3\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \] Значение \(x_1\) также меньше \(10\pi\), не подходит. - **Для \(k = 2\)**: \[ x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 2 = \frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \] По сравнению с \(10\pi\), это значение также мало. - **Для \(k = 3\)**: \[ x_3 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 3 = \frac{3\pi}{4} + \frac{12\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \] Значение \(x_3\) все еще меньше \(10\pi\). - **Для \(k = 4\)**: \[ x_4 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 4 = \frac{3\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{19\pi}{4} \] Проверим, попадает ли это значение в отрезок: \[ 10\pi = \frac{40\pi}{4} \implies \frac{19\pi}{4} < \frac{40\pi}{4} \] Это значение также не подходит. - **Для \(k = 5\)**: \[ x_5 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 5 = \frac{3\pi}{4} + \frac{20\pi}{4} = \frac{23\pi}{4} \] Проверим, попадает ли это значение в отрезок: \[ 10\pi = \frac{40\pi}{4} \implies \frac{23\pi}{4} < \frac{40\pi}{4} \] Это также не подходит. - **Для \(k = 6\)**: \[ x_6 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 6 = \frac{3\pi}{4} + \frac{24\pi}{4} = \frac{27\pi}{4} \] Проверим, попадает ли это значение в отрезок: \[ 10\pi = \frac{40\pi}{4} \implies \frac{27\pi}{4} < \frac{40\pi}{4} \] Это также не подходит. - **Для \(k = 7\)**: \[ x_7 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 7 = \frac{3\pi}{4} + \frac{28\pi}{4} = \frac{31\pi}{4} \] Это значение в отрезке уже : \[ 10\pi = \frac{40\pi}{4} \implies \frac{31\pi}{4} < \frac{40\pi}{4} \] Это значение также подходит. - **Для \(k = 8\)**: \[ x_8 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 8 = \frac{3\pi}{4} + \frac{32\pi}{4} = \frac{35\pi}{4} \] Проверим, подходит ли это? \[ \frac{35\pi}{4} < 10\pi \] Это тоже подходит. - **Для \(k = 9\)**: \[ x_9 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 9 = \frac{3\pi}{4} + \frac{36\pi}{4} = \frac{39\pi}{4} \] Но: \[ \frac{39\pi}{4} > \frac{40\pi}{4} \] Это значение не подходит. Теперь, корни из первого уравнения на данном отрезке: - \(\frac{23\pi}{4}\) - \(\frac{27\pi}{4}\) - \(\frac{31\pi}{4}\) - \(\frac{35\pi}{4}\) **Второе уравнение: \(x = \pi k\)** Теперь разберем второе уравнение: - **Для \(k = 10\)**: \[ x = \pi \times 10 = 10\pi \] Это значение на границе. - **Для \(k = 11\)**: \[ x = \pi \times 11 = 11\pi \] Это значение также подходит. - **Для \(k = 12\)**: \[ x = \pi \times 12 = 12\pi \] Это значение больше \(10\pi\). Теперь у нас есть корни из второго уравнения также: - \(10\pi\) - \(11\pi\) ### Ответ Так что полные корни на отрезке \([10\pi; \frac{23\pi}{2}]\): - Для первого уравнения: \(\frac{23\pi}{4}; \frac{27\pi}{4}; \frac{31\pi}{4}; \frac{35\pi}{4}\) - Для второго уравнения: \(10\pi; 11\pi\) Таким образом мы нашли все корни в заданном отрезке.