Отобрать корни на отрезке [10π; 23π/2] из серий решений x=3π/4+πk; x=πk, k∈Z

Давайте решим задачу по нахождению корней на отрезке \([10\pi; \frac{23\pi}{2}]\) из данных уравнений:

1. \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
2. \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Поиск корней

Первое уравнение: \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi k\)

Для нахождения корней данного уравнения, подставим различные значения \(k\) и проверим, попадают ли они в указанный отрезок.

• Для \(k = 0\): \[ x_0 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 0 = \frac{3\pi}{4} \] Значение \(x_0\) меньше \(10\pi\), не подходит.

• Для \(k = 1\): \[ x_1 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 1 = \frac{3\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \] Значение \(x_1\) также меньше \(10\pi\), не подходит.

• Для \(k = 2\): \[ x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 2 = \frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \] По сравнению с \(10\pi\), это значение также мало.

• Для \(k = 3\): \[ x_3 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 3 = \frac{3\pi}{4} + \frac{12\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \] Значение \(x_3\) все еще меньше \(10\pi\).

• Для \(k = 4\): \[ x_4 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 4 = \frac{3\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{19\pi}{4} \] Проверим, попадает ли это значение в отрезок: \[ 10\pi = \frac{40\pi}{4} \implies \frac{19\pi}{4} < \frac{40\pi}{4} \] Это значение также не подходит.

• Для \(k = 5\): \[ x_5 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 5 = \frac{3\pi}{4} + \frac{20\pi}{4} = \frac{23\pi}{4} \] Проверим, попадает ли это значение в отрезок: \[ 10\pi = \frac{40\pi}{4} \implies \frac{23\pi}{4} < \frac{40\pi}{4} \] Это также не подходит.

• Для \(k = 6\): \[ x_6 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 6 = \frac{3\pi}{4} + \frac{24\pi}{4} = \frac{27\pi}{4} \] Проверим, попадает ли это значение в отрезок: \[ 10\pi = \frac{40\pi}{4} \implies \frac{27\pi}{4} < \frac{40\pi}{4} \] Это также не подходит.

• Для \(k = 7\): \[ x_7 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 7 = \frac{3\pi}{4} + \frac{28\pi}{4} = \frac{31\pi}{4} \] Это значение в отрезке уже : \[ 10\pi = \frac{40\pi}{4} \implies \frac{31\pi}{4} < \frac{40\pi}{4} \] Это значение также подходит.

• Для \(k = 8\): \[ x_8 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 8 = \frac{3\pi}{4} + \frac{32\pi}{4} = \frac{35\pi}{4} \] Проверим, подходит ли это? \[ \frac{35\pi}{4} < 10\pi \] Это тоже подходит.

• Для \(k = 9\): \[ x_9 = \frac{3\pi}{4} + \pi \times 9 = \frac{3\pi}{4} + \frac{36\pi}{4} = \frac{39\pi}{4} \] Но: \[ \frac{39\pi}{4} > \frac{40\pi}{4} \] Это значение не подходит.

Теперь, корни из первого уравнения на данном отрезке:

• \(\frac{23\pi}{4}\)
• \(\frac{27\pi}{4}\)
• \(\frac{31\pi}{4}\)
• \(\frac{35\pi}{4}\)

Второе уравнение: \(x = \pi k\)

Теперь разберем второе уравнение:

• Для \(k = 10\): \[ x = \pi \times 10 = 10\pi \] Это значение на границе.

• Для \(k = 11\): \[ x = \pi \times 11 = 11\pi \] Это значение также подходит.

• Для \(k = 12\): \[ x = \pi \times 12 = 12\pi \] Это значение больше \(10\pi\).

Теперь у нас есть корни из второго уравнения также:

• \(10\pi\)
• \(11\pi\)

Ответ

Так что полные корни на отрезке \([10\pi; \frac{23\pi}{2}]\):

• Для первого уравнения: \(\frac{23\pi}{4}; \frac{27\pi}{4}; \frac{31\pi}{4}; \frac{35\pi}{4}\)
• Для второго уравнения: \(10\pi; 11\pi\)

Таким образом мы нашли все корни в заданном отрезке.