Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ( ABC ), мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности ( r ) треугольника:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — полупериметр треугольника.
Шаг 1: Находим стороны треугольника
Дано:
- Основание ( AC = 10 )
- Углы при основании ( \angle ABC = \angle ACB = 30° )
- Боковые стороны ( AB = AC = \frac{10\sqrt{3}}{3} )
Рассмотрим треугольник ( ABC ). Мы знаем, что съединение отрезка высоты ( BD ) делит основание пополам, если треугольник равнобедренный.
Таким образом, ( AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 ).
Шаг 2: Находим высоту треугольника ( S )
Высота из вершины ( B ) к основанию ( AC ) равна ( BD = \frac{5\sqrt{3}}{3} ). Для нахождения площади ( S ) треугольника, можно воспользоваться формулой для площади:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD
]
Подставляем значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{50\sqrt{3}}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{3}
]
Шаг 3: Находим полупериметр ( p )
Полупериметр вычисляется по формуле:
[
p = \frac{AB + BC + AC}{2}
]
Так как ( AB = BC = \frac{10 \sqrt{3}}{3} ):
[
p = \frac{ \frac{10\sqrt{3}}{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3} + 10 }{2} = \frac{ \frac{20\sqrt{3}}{3} + 10 }{2} = \frac{20\sqrt{3} + 30}{6}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
p = \frac{20\sqrt{3} + 30}{6}
]
Шаг 4: Находим радиус вписанной окружности ( r )
Теперь подставляем значения ( S ) и ( p ) в формулу ( r = \frac{S}{p} ):
[
r = \frac{\frac{25\sqrt{3}}{3}}{\frac{20\sqrt{3} + 30}{6}} = \frac{25\sqrt{3} \cdot 6}{3 \cdot (20\sqrt{3} + 30)} = \frac{150\sqrt{3}}{60\sqrt{3} + 90}
]
Упрощая, получаем:
[
r = \frac{150\sqrt{3}}{30(2\sqrt{3} + 3)} = \frac{5\sqrt{3}}{2 + \frac{3}{\sqrt{3}}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}
]
На этом шаге, удобно будет подставить значения или численно оценить.
Итак, окончательный ответ: радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ( ABC ), равен:
[
r \approx 5
]
Это помогает не просто решить задачу, а и понять процесс нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник.
