Высота, проведённая из прямого угла треугольника  G H T GHT, равна  21. Найди гипотенузу треугольника  G H T GHT, если один из его катетов равен  35.

Для решения задачи о нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, используя известные высоту и один из катетов, можем воспользоваться формулой для площади треугольника. 1. **Запишем формулу для площади треугольника:** Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: - Через катеты: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника. - Через высоту: \[ S = \frac{1}{2} \times h \times c \] где \( h \) — высота, проведённая к гипотенузе \( c \) (гипотенуза). 2. **Дано:** - Высота \( h = 21 \) - Один из катетов \( a = 35 \) Обозначим второй катет \( b \) и гипотенузу \( c \). 3. **Запишем два уравнения для площади:** \[ S = \frac{1}{2} \times 35 \times b \quad (1) \] \[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times c \quad (2) \] 4. **Приравняем площади из (1) и (2):** \[ \frac{1}{2} \times 35 \times b = \frac{1}{2} \times 21 \times c \] Убираем \( \frac{1}{2} \) с обеих сторон: \[ 35b = 21c \] \[ c = \frac{35b}{21} = \frac{5b}{3} \quad (3) \] 5. **Теперь воспользуемся теоремой Пифагора:** Для прямоугольного треугольника справедливо: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим \( a = 35 \) и выражение для \( c \) из (3): \[ \left( \frac{5b}{3} \right)^2 = 35^2 + b^2 \] Раскроем скобки: \[ \frac{25b^2}{9} = 1225 + b^2 \] 6. **Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от дробей:** \[ 25b^2 = 11025 + 9b^2 \] 7. **Переносим все элементы в одну сторону:** \[ 25b^2 - 9b^2 = 11025 \] \[ 16b^2 = 11025 \] \[ b^2 = \frac{11025}{16} \] \[ b^2 = 688.125 \] Теперь находим \( b \): \[ b = \sqrt{688.125} \approx 26.22 \] 8. **Найдем гипотенузу \( c \):** Подставим значение \( b \) обратно в выражение для \( c \): \[ c = \frac{5 \cdot 26.22}{3} \approx \frac{131.1}{3} \approx 43.7 \] 9. **Итак, гипотенуза треугольника \( GHT \) составляет приблизительно:** \[ c \approx 43.7 \] Таким образом, гипотенуза треугольника \( GHT \) равна примерно 43.7.