Высота, проведённая из прямого угла треугольника G H T GHT , равна 21 . Найди гипотенузу треугольника G H T GHT , если один из его катетов равен 35 .
Для решения задачи о нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, используя известные высоту и один из катетов, можем воспользоваться формулой для площади треугольника.
Запишем формулу для площади треугольника: Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
- Через катеты: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника.
- Через высоту: \[ S = \frac{1}{2} \times h \times c \] где \( h \) — высота, проведённая к гипотенузе \( c \) (гипотенуза).
Дано:
- Высота \( h = 21 \)
- Один из катетов \( a = 35 \)
Обозначим второй катет \( b \) и гипотенузу \( c \).
Запишем два уравнения для площади: \[ S = \frac{1}{2} \times 35 \times b \quad (1) \] \[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times c \quad (2) \]
Приравняем площади из (1) и (2): \[ \frac{1}{2} \times 35 \times b = \frac{1}{2} \times 21 \times c \]
Убираем \( \frac{1}{2} \) с обеих сторон: \[ 35b = 21c \] \[ c = \frac{35b}{21} = \frac{5b}{3} \quad (3) \]
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: Для прямоугольного треугольника справедливо: \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим \( a = 35 \) и выражение для \( c \) из (3): \[ \left( \frac{5b}{3} \right)^2 = 35^2 + b^2 \]
Раскроем скобки: \[ \frac{25b^2}{9} = 1225 + b^2 \]
Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от дробей: \[ 25b^2 = 11025 + 9b^2 \]
Переносим все элементы в одну сторону: \[ 25b^2 - 9b^2 = 11025 \] \[ 16b^2 = 11025 \] \[ b^2 = \frac{11025}{16} \] \[ b^2 = 688.125 \]
Теперь находим \( b \): \[ b = \sqrt{688.125} \approx 26.22 \]
Найдем гипотенузу \( c \): Подставим значение \( b \) обратно в выражение для \( c \): \[ c = \frac{5 \cdot 26.22}{3} \approx \frac{131.1}{3} \approx 43.7 \]
Итак, гипотенуза треугольника \( GHT \) составляет приблизительно: \[ c \approx 43.7 \]
Таким образом, гипотенуза треугольника \( GHT \) равна примерно 43.7.
