Исследуйте функцию на экстремум: y = x ^ 2 - 10x + 9
Чтобы найти экстремумы функции \( y = x^2 - 10x + 9 \), давайте следовать пошагово.
Шаг 1: Определение типа функции
Функция \( y = x^2 - 10x + 9 \) является квадратичной, так как ее уравнение имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = -10 \), и \( c = 9 \).
Шаг 2: Нахождение производной
Чтобы определить экстремумы функции, нам нужно найти ее первую производную и установить, где она равна нулю:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 10x + 9) \]
Посчитаем производную:
\[ y' = 2x - 10 \]
Шаг 3: Поиск критических точек
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
\[ 2x - 10 = 0 \]
Решаем уравнение:
\[ 2x = 10 \\ x = 5 \]
Это значение \( x = 5 \) является критической точкой.
Шаг 4: Определение, является ли это максимумом или минимумом
Для определения, является ли найденная критическая точка максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную:
\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^2 - 10x + 9) \]
Посчитаем вторую производную:
\[ y'' = 2 \]
Так как значение второй производной положительное (\( y'' > 0 \)), это указывает на то, что функция в точке \( x = 5 \) имеет минимум.
Шаг 5: Находим значение функции в критической точке
Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x = 5 \) в исходное уравнение:
\[ y(5) = (5)^2 - 10(5) + 9 \\ = 25 - 50 + 9 \\ = -16 \]
Итог:
Таким образом, функция \( y = x^2 - 10x + 9 \) имеет минимум при \( x = 5 \) и значение минимума \( y = -16 \).
Ответ: Минимум функции: \( (5, -16) \)
Обсуждение
2 сообщенияy = - x ^ 2 + 2x + 3
Давайте исследуем функцию \( y = -x^2 + 2x + 3 \) на экстремумы.
Шаг 1: Определение типа функции
Функция \( y = -x^2 + 2x + 3 \) является квадратичной, так как имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -1 \), \( b = 2 \), и \( c = 3 \). Поскольку \( a < 0 \), это означает, что график функции — парабола, направленная вниз, и у функции будет максимум.
Шаг 2: Нахождение производной
Нам нужно найти первую производную функции:
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 2x + 3) \]
Посчитаем производную:
\[ y' = -2x + 2 \]
Шаг 3: Поиск критических точек
Теперь находим точки, где производная равна нулю:
\[ -2x + 2 = 0 \]
Решаем уравнение:
\[ -2x = -2 \\ x = 1 \]
Это значение \( x = 1 \) является критической точкой.
Шаг 4: Определение, является ли это максимумом или минимумом
Для определения, является ли найденная критическая точка максимумом или минимумом, найдем вторую производную:
\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(-x^2 + 2x + 3) \]
Посчитаем вторую производную:
\[ y'' = -2 \]
Так как значение второй производной отрицательное (\( y'' < 0 \)), это указывает на то, что функция в точке \( x = 1 \) имеет максимум.
Шаг 5: Находим значение функции в критической точке
Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x = 1 \) в исходное выражение:
\[ y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 \\ = -1 + 2 + 3 \\ = 4 \]
Итог:
Таким образом, функция \( y = -x^2 + 2x + 3 \) имеет максимум при \( x = 1 \) и значение максимума \( y = 4 \).
Ответ: Максимум функции: \( (1, 4) \)
