Чтобы найти экстремумы функции ( y = x^2 - 10x + 9 ), давайте следовать пошагово.
Шаг 1: Определение типа функции
Функция ( y = x^2 - 10x + 9 ) является квадратичной, так как ее уравнение имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 1 ), ( b = -10 ), и ( c = 9 ).
Шаг 2: Нахождение производной
Чтобы определить экстремумы функции, нам нужно найти ее первую производную и установить, где она равна нулю:
[
y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 10x + 9)
]
Посчитаем производную:
[
y' = 2x - 10
]
Шаг 3: Поиск критических точек
Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
[
2x - 10 = 0
]
Решаем уравнение:
[
2x = 10 \
x = 5
]
Это значение ( x = 5 ) является критической точкой.
Шаг 4: Определение, является ли это максимумом или минимумом
Для определения, является ли найденная критическая точка максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную:
[
y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^2 - 10x + 9)
]
Посчитаем вторую производную:
[
y'' = 2
]
Так как значение второй производной положительное (( y'' > 0 )), это указывает на то, что функция в точке ( x = 5 ) имеет минимум.
Шаг 5: Находим значение функции в критической точке
Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим ( x = 5 ) в исходное уравнение:
[
y(5) = (5)^2 - 10(5) + 9 \
= 25 - 50 + 9 \
= -16
]
Итог:
Таким образом, функция ( y = x^2 - 10x + 9 ) имеет минимум при ( x = 5 ) и значение минимума ( y = -16 ).
Ответ: Минимум функции: ( (5, -16) )
